각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 각의 3등분(The trisection of an angle)

 

 

개요

• 작도문제와 구적가능성 에 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체에 들어 있다.
• 거듭제곱근 체확장(radical extension)의 개념이 중요

 

 

3등분 가능하지 않은 각도

만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다.

먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 \(\mathbb K\)라 하자.

주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.

여기서는 각도 \(\alpha = \frac{\theta}{3}\) 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, \(\cos \alpha\)가 \(\mathbb K\) 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.

\(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 을 활용하면,  \(\cos \alpha\)

\(y=\cos \alpha\) 는 유리계수다항식 \(1/2 = 4y^{3} - 3y\) 즉, \((2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0\) 을 만족시킨다. 

\(x = 2y\) 로 두면, \(x^{3} - 3x - 1 = 0\) 가 만족된다. 

한편 \(x^{3} - 3x - 1 = 0\)는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다. 

따라서 \(x\)는 \(\mathbb K\)안에 있을 수 없고, \(y\)도 마찬가지이다. 

그러므로 각도 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다.

 

 

 

 

재미있는 사실

• 3등분의 불가능이 증명되었음에도, 해법을 찾는 사람들이 많다. 이들을 angle trisector 라고 부른다. 
• 이러한 주장에 현혹되는 것은 큰 망신을 살 수 있는 행위가 되므로, 주의를 요함. 
• 네이버 사고 치다
  
  • Pomp On Math & Puzzle, 2009-4-27
• 각의 3등분의 정리
  
  • 함보현 기자, 연합뉴스, 2004-04-03

임의의 각 3등분 문제는 프랑스의 수학자 완첼(1814-1848)에 의해 작도 불가능이 증명됐다고 알려져 왔다.
각의 3등분의 정리」(김휘암 지음)는 이러한 통념을 뒤엎고 특정한 각에 대한 3등분이 가능함을 증명한 책이다. 

• • 이러한 기사를 쓰는 경우, 기자로서의 자질을 의심받을 수도 있다. 

 

 

 

 

많이 나오는 질문

• 네이버 지식인
  
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=각의3등분

 

 

 

 

 

관련도서 및 추천도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
• 도서검색
  
  • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
  • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

사전형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection

 

 

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)다. 또한 이미 충격완화방지 고무 덮개나 케이스를 구매한 사용자들은 그 가격만큼 환불해 주겠다고 공언했습니다. 다음 주 말부터 애플 웹사이트를 통해 신청하면 케이스나 받거나 고무덮개 가격만틈 환불받을 수 있다고 합니다.
   
  그러나, 이런 조치가 여전히 부족하다고 생각하는 아이폰 4 사용자들은 신청만 하면 30일 내에 전액 환불하겠다고 밝혔습니다. 단 사용하고 있는 아이폰 4가 손상을 입지않았다는 조건이라고 합니다.충격방지 덮개나 케이스는 안테나 수신문제가 불거져 나오자 그 한 해결책으로 제시한 것으로 이 덮개를 씌운 아이폰4는 안테나 브릿지 문제로 인한 신호수신률 하락이 발생하지 않는다고 합니다. 
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=각의3등분
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=함보현기자
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=

 

 

블로그

• 일반적으로 각의 삼등분이 항상 가능하지 않음에 대한 증명.
  
  • Existence and Uniqueness
• 구글 블로그 검색
  
  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=각의삼등분
  • http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=각의3등분
• 트렌비 블로그 검색
  
  • http://www.trenb.com/search.qst?q=각의삼등분
  • http://www.trenb.com/search.qst?q=각의3등분