"몰리엔 정리 (Molien's theorem)"의 두 판 사이의 차이
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| − | ** | + | ** <math>\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d</math> : <math>a_d</math>의 생성함수 |
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다음이 성립한다 | 다음이 성립한다 | ||
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\Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)} | \Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)} | ||
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===예=== | ===예=== | ||
* 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 [[정이면체군 (dihedral group)]]이다 | * 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 [[정이면체군 (dihedral group)]]이다 | ||
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\Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)} | \Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)} | ||
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* 이 불변다항식은 [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 등장하기도 한다 | * 이 불변다항식은 [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 등장하기도 한다 | ||
2020년 11월 13일 (금) 02:56 판
개요
- 행렬로 표현된 유한군의 불변다항식에 대한 정리
몰리엔 정리
- 기호
- \(G\) : 유한행렬군
- \(a_d\) : 차수가 \(d\)인 \(G\)의 동차불변다항식의 공간이 이루는 차원
- \(\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d\) \[a_d\]의 생성함수
- 정리 (몰리엔)
다음이 성립한다 \[ \Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)} \]
예
- 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 정이면체군 (dihedral group)이다
\[ \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \]
- 다음을 얻는다
\[ \Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)} \]
- 이 불변다항식은 맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)에 등장하기도 한다
메모
- http://rigtriv.wordpress.com/2008/02/12/invariants-of-finite-groups-i/
- http://www.mathematicalgemstones.com/gemstones/diamond/moliens-theorem-and-symmetric-functions