"몰리엔 정리 (Molien's theorem)"의 두 판 사이의 차이

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==몰리엔 정리==
 
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* 기호
 
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** $G$ : 유한행렬군
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** <math>G</math> : 유한행렬군
** $a_d$ : 차수가 $d$$G$의 동차불변다항식의 공간이 이루는 차원
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** <math>a_d</math> : 차수가 <math>d</math><math>G</math>의 동차불변다항식의 공간이 이루는 차원
** $\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d$ : $a_d$의 생성함수
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** <math>\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d</math> : <math>a_d</math>의 생성함수
  
 
;정리 (몰리엔)
 
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다음이 성립한다
 
다음이 성립한다
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:<math>
 
\Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)}
 
\Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)}
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===예===
 
===예===
 
* 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 [[정이면체군 (dihedral group)]]이다
 
* 아래의 두 행렬로 생성되는 군은 크기가 16인 [[정이면체군 (dihedral group)]]이다
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\begin{array}{cc}
 
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* 다음을 얻는다
 
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\Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)}
 
\Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)}
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* 이 불변다항식은 [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 등장하기도 한다
 
* 이 불변다항식은 [[맥윌리엄스 항등식 (MacWilliams Identity)]]에 등장하기도 한다
  

2020년 11월 13일 (금) 03:56 판

개요

  • 행렬로 표현된 유한군의 불변다항식에 대한 정리

몰리엔 정리

  • 기호
    • \(G\) : 유한행렬군
    • \(a_d\) : 차수가 \(d\)인 \(G\)의 동차불변다항식의 공간이 이루는 차원
    • \(\Phi(\lambda)=\sum_{d=0}^\infty a_d\lambda^d\) \[a_d\]의 생성함수
정리 (몰리엔)

다음이 성립한다 \[ \Phi(\lambda)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\frac{1}{\det(I-\lambda g)} \]

\[ \left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) \]

  • 다음을 얻는다

\[ \Phi(\lambda)=\frac{1}{(\lambda -1)^2 (\lambda +1)^2 \left(\lambda ^2+1\right) \left(\lambda ^4+1\right)} \]


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