"수열의 오일러 변환"의 두 판 사이의 차이
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==개요== | ==개요== | ||
| − | * 두 수열 | + | * 두 수열 <math>\{a_1,a_2,\cdots \}</math>, <math>\{b_1,b_2,\cdots \}</math> 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함 |
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1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\, | 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\, | ||
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* 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다 | * 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다 | ||
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1 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\, | 1 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\, | ||
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* 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함 | * 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함 | ||
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==예== | ==예== | ||
* [[로저스-라마누잔 항등식]] | * [[로저스-라마누잔 항등식]] | ||
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\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots | \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots | ||
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| − | 에서 | + | 에서 <math>a_n</math>은 <math>1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots</math>로 주어지는 주기가 5인 수열 |
* 가우스의 항등식 | * 가우스의 항등식 | ||
| − | + | :<math> | |
\sum_{m \geq 0}(-1)^m(2m+1)q^{m(m+1)/2}=(q;q)^3 | \sum_{m \geq 0}(-1)^m(2m+1)q^{m(m+1)/2}=(q;q)^3 | ||
| − | + | </math> | |
| − | 에서 | + | 에서 <math>a_n</math>은 <math>-3,-3,-3,\cdots</math>로 주어지는 상수열 |
* [[분할수가 만족시키는 합동식]] | * [[분할수가 만족시키는 합동식]] | ||
| − | + | :<math>\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots</math> | |
에서 | 에서 | ||
| − | + | <math>b_n=p(5n+4)/5</math>로 두면, <math>a_n</math>은 <math>6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots</math>로 주어지는 주기가 5인 수열 | |
2020년 11월 13일 (금) 07:10 기준 최신판
개요
- 두 수열 \(\{a_1,a_2,\cdots \}\), \(\{b_1,b_2,\cdots \}\) 사이에 다음이 성립할 때, 둘이 오일러 변환 관계에 있다고 함
\[ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n = \prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1-x^i)^{a_i}}\, \]
- 생성함수 사이에 다음의 관계가 성립한다
\[ 1 + B(x) = \exp\bigg[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{A(x^k)}{k}\bigg]\, \]
- 주어진 급수의 무한곱 표현을 찾는데 유용함
예
\[ \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots \] 에서 \(a_n\)은 \(1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0,\cdots\)로 주어지는 주기가 5인 수열
- 가우스의 항등식
\[ \sum_{m \geq 0}(-1)^m(2m+1)q^{m(m+1)/2}=(q;q)^3 \] 에서 \(a_n\)은 \(-3,-3,-3,\cdots\)로 주어지는 상수열
\[\sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5;q^5)_\infty^5}{(q;q)_\infty^6}=5+30 q+135 q^2+490 q^3+1575 q^4+4565 q^5+\cdots\] 에서 \(b_n=p(5n+4)/5\)로 두면, \(a_n\)은 \(6, 6, 6, 6, 1, 6, 6, 6, 6, 1,\cdots\)로 주어지는 주기가 5인 수열
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Kanade, Shashank, and Matthew C. Russell. ‘IdentityFinder and Some New Identities of Rogers-Ramanujan Type’. arXiv:1411.5346 Null, 19 November 2014. http://arxiv.org/abs/1411.5346.
- Garvan, Frank. 1998. “A Q-Product Tutorial for a Q-Series MAPLE Package.” arXiv:math/9812092 (December 16). http://arxiv.org/abs/math/9812092.