"감마함수"의 두 판 사이의 차이
| 3번째 줄: | 3번째 줄: | ||
* <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math> | * <math>\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}</math> | ||
* <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math> | * <math>\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)</math> | ||
| − | * | + | * 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math> |
| − | * 팩토리얼 함수의 정의역을 | + | * <math>\Gamma(n)=(n-1)!</math> |
| − | + | * 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장 | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 62번째 줄: | 57번째 줄: | ||
<math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}</math> | <math>\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}</math> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 83번째 줄: | 63번째 줄: | ||
<h5>재미있는 사실</h5> | <h5>재미있는 사실</h5> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| 113번째 줄: | 74번째 줄: | ||
* [[스털링 공식]] | * [[스털링 공식]] | ||
* [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]] | * [[리만제타함수|리만제타함수와 리만가설]] | ||
| + | * [[오일러 베타적분(베타함수)|베타적분]] | ||
2009년 11월 11일 (수) 16:55 판
정의
- \(\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}\)
- \(\Gamma(s+1) =s\Gamma(s)\)
- 자연수 \(n\)에 대하여 \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
- \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
- 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장
적분표현
(Binet's second expression)
\(\operatorname{Re} z > 0 \) 일 때, \(\log \Gamma(z)=(z-\frac{1}{2})\log z -z+\frac{1}{2}\log 2\pi+ 2\int_0^{\infty}\frac{\tan^{-1}(t/z)}{e^{2\pi t} -1}dt\)
(http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고)
반사공식
- \(\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin{(\pi z)}} \,\!\)
- \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
- 일반적으로
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
(증명)
\(\Gamma(n+\frac{1}{2})=\Gamma(\frac{2n+1}{2})=(\frac{2n-1}{2})\Gamma(\frac{2n-1}{2})=(\frac{2n-1}{2})(\frac{2n-3}{2})\Gamma(\frac{2n-3}{2})=(\frac{2n-1}{2})\cdots(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{2n-1}{2}\sqrt{\pi}=(\frac{1}{2})_n\sqrt{\pi}\)
곱셈공식
- \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{2}-2z} \; \sqrt{2\pi} \; \Gamma(2z) \,\!\)
- \(\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz). \,\!\)
Digamma 함수
- 감마함수의 로그미분으로 정의
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
- 자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.
삼각함수의 적분과 감마함수
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{p}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{p}{2}+\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2}+1)}\)
\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}= \frac{\sqrt{\pi}\Gamma(n+\frac{1}{2})}{2\Gamma(n+1)}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\)
재미있는 사실
관련된 다른 주제들
관련도서 및 추천도서
- The Gamma Function
- Emil Artin
- 도서내검색
- 도서검색
사전자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
- http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
- http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
블로그
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
이미지 검색
- http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
- http://images.google.com/images?q=
- http://www.artchive.com