"콕세터 군 B3/C3"의 두 판 사이의 차이
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
||
| (같은 사용자의 중간 판 4개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
==개요== | ==개요== | ||
* [[유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)]]의 예 | * [[유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)]]의 예 | ||
| + | * 다음과 같이 정의되는 콕세터 군 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \left\langle r_1,r_2,r_3 \mid r_i^2=(r_3r_1)^2=(r_1r_2)^3=(r_2r_3)^4=1\right\rangle | ||
| + | </math> | ||
* 불변량 | * 불변량 | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{array}{c|ccccc} | \begin{array}{c|ccccc} | ||
& \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ | & \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ | ||
| 8번째 줄: | 12번째 줄: | ||
B_3/C_3 & 3 & 2,4,6 & 1,3,5 & 48 & 6 \\ | B_3/C_3 & 3 & 2,4,6 & 1,3,5 & 48 & 6 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
| − | + | </math> | |
* 포앵카레 다항식 | * 포앵카레 다항식 | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
P_{W}(q)&=\sum_{w\in W}q^{\ell(w)} \\ | P_{W}(q)&=\sum_{w\in W}q^{\ell(w)} \\ | ||
&=1+3 q+5 q^2+7 q^3+8 q^4+8 q^5+7 q^6+5 q^7+3 q^8+q^9 | &=1+3 q+5 q^2+7 q^3+8 q^4+8 q^5+7 q^6+5 q^7+3 q^8+q^9 | ||
\end{aligned} | \end{aligned} | ||
| − | + | </math> | |
| + | |||
| + | |||
| + | ==콕세터 원소== | ||
| + | * 콕세터 다항식, 즉 콕세터 원소의 특성다항식은 <math>-(x^3+1)</math> | ||
| + | * 콕세터 다항식의 세 해는 <math>\zeta, \zeta^3,\zeta^5</math>로 주어지며 여기서 <math>\zeta=e^{2\pi i/6}</math> | ||
==테이블== | ==테이블== | ||
* 원소 | * 원소 | ||
| − | + | :<math> | |
\begin{array}{ccc} | \begin{array}{ccc} | ||
& w & \ell(w) \\ | & w & \ell(w) \\ | ||
\hline | \hline | ||
| − | + | 1 & \{\} & 0 \\ | |
| − | 2 & | + | 2 & \{1\} & 1 \\ |
| − | 3 & | + | 3 & \{2\} & 1 \\ |
| − | 4 & | + | 4 & \{3\} & 1 \\ |
| − | 5 & | + | 5 & \{1,2\} & 2 \\ |
| − | 6 & | + | 6 & \{1,3\} & 2 \\ |
| − | 7 & | + | 7 & \{2,1\} & 2 \\ |
| − | 8 & | + | 8 & \{2,3\} & 2 \\ |
| − | 9 & | + | 9 & \{3,2\} & 2 \\ |
| − | 10 & | + | 10 & \{1,2,1\} & 3 \\ |
| − | 11 & | + | 11 & \{1,2,3\} & 3 \\ |
| − | 12 & | + | 12 & \{1,3,2\} & 3 \\ |
| − | 13 & | + | 13 & \{2,1,3\} & 3 \\ |
| − | 14 & | + | 14 & \{2,3,2\} & 3 \\ |
| − | 15 & | + | 15 & \{3,2,1\} & 3 \\ |
| − | 16 & | + | 16 & \{3,2,3\} & 3 \\ |
| − | 17 & | + | 17 & \{1,2,1,3\} & 4 \\ |
| − | 18 & | + | 18 & \{1,2,3,2\} & 4 \\ |
| − | 19 & | + | 19 & \{1,3,2,1\} & 4 \\ |
| − | 20 & | + | 20 & \{1,3,2,3\} & 4 \\ |
| − | 21 & | + | 21 & \{2,1,3,2\} & 4 \\ |
| − | 22 & | + | 22 & \{2,3,2,1\} & 4 \\ |
| − | 23 & | + | 23 & \{2,3,2,3\} & 4 \\ |
| − | 24 & | + | 24 & \{3,2,1,3\} & 4 \\ |
| − | 25 & | + | 25 & \{1,2,1,3,2\} & 5 \\ |
| − | 26 & | + | 26 & \{1,2,3,2,1\} & 5 \\ |
| − | 27 & | + | 27 & \{1,2,3,2,3\} & 5 \\ |
| − | 28 & | + | 28 & \{1,3,2,1,3\} & 5 \\ |
| − | 29 & | + | 29 & \{2,1,3,2,1\} & 5 \\ |
| − | 30 & | + | 30 & \{2,1,3,2,3\} & 5 \\ |
| − | 31 & | + | 31 & \{2,3,2,1,3\} & 5 \\ |
| − | 32 & | + | 32 & \{3,2,1,3,2\} & 5 \\ |
| − | 33 & | + | 33 & \{1,2,1,3,2,1\} & 6 \\ |
| − | 34 & | + | 34 & \{1,2,1,3,2,3\} & 6 \\ |
| − | 35 & | + | 35 & \{1,2,3,2,1,3\} & 6 \\ |
| − | 36 & | + | 36 & \{1,3,2,1,3,2\} & 6 \\ |
| − | 37 & | + | 37 & \{2,1,3,2,1,3\} & 6 \\ |
| − | 38 & | + | 38 & \{2,3,2,1,3,2\} & 6 \\ |
| − | 39 & | + | 39 & \{3,2,1,3,2,3\} & 6 \\ |
| − | 40 & | + | 40 & \{1,2,1,3,2,1,3\} & 7 \\ |
| − | 41 & | + | 41 & \{1,2,3,2,1,3,2\} & 7 \\ |
| − | 42 & | + | 42 & \{1,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ |
| − | 43 & | + | 43 & \{2,1,3,2,1,3,2\} & 7 \\ |
| − | 44 & | + | 44 & \{2,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ |
| − | 45 & | + | 45 & \{1,2,1,3,2,1,3,2\} & 8 \\ |
| − | 46 & | + | 46 & \{1,2,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ |
| − | 47 & | + | 47 & \{2,1,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ |
| − | 48 & | + | 48 & \{1,2,1,3,2,1,3,2,3\} & 9 |
\end{array} | \end{array} | ||
| − | + | </math> | |
| 82번째 줄: | 91번째 줄: | ||
==매스매티카 파일 및 계산리소스== | ==매스매티카 파일 및 계산리소스== | ||
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTzBLdFpEdmxGM1k/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTzBLdFpEdmxGM1k/edit | ||
| + | [[분류:리군과 리대수]] | ||
2020년 11월 13일 (금) 07:00 기준 최신판
개요
- 유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)의 예
- 다음과 같이 정의되는 콕세터 군
\[ \left\langle r_1,r_2,r_3 \mid r_i^2=(r_3r_1)^2=(r_1r_2)^3=(r_2r_3)^4=1\right\rangle \]
- 불변량
\[ \begin{array}{c|ccccc} & \text{rank} & \text{degree} & \text{exponent} & \text{order} & \text{Coxeter} \\ \hline B_3/C_3 & 3 & 2,4,6 & 1,3,5 & 48 & 6 \\ \end{array} \]
- 포앵카레 다항식
\[ \begin{aligned} P_{W}(q)&=\sum_{w\in W}q^{\ell(w)} \\ &=1+3 q+5 q^2+7 q^3+8 q^4+8 q^5+7 q^6+5 q^7+3 q^8+q^9 \end{aligned} \]
콕세터 원소
- 콕세터 다항식, 즉 콕세터 원소의 특성다항식은 \(-(x^3+1)\)
- 콕세터 다항식의 세 해는 \(\zeta, \zeta^3,\zeta^5\)로 주어지며 여기서 \(\zeta=e^{2\pi i/6}\)
테이블
- 원소
\[ \begin{array}{ccc} & w & \ell(w) \\ \hline 1 & \{\} & 0 \\ 2 & \{1\} & 1 \\ 3 & \{2\} & 1 \\ 4 & \{3\} & 1 \\ 5 & \{1,2\} & 2 \\ 6 & \{1,3\} & 2 \\ 7 & \{2,1\} & 2 \\ 8 & \{2,3\} & 2 \\ 9 & \{3,2\} & 2 \\ 10 & \{1,2,1\} & 3 \\ 11 & \{1,2,3\} & 3 \\ 12 & \{1,3,2\} & 3 \\ 13 & \{2,1,3\} & 3 \\ 14 & \{2,3,2\} & 3 \\ 15 & \{3,2,1\} & 3 \\ 16 & \{3,2,3\} & 3 \\ 17 & \{1,2,1,3\} & 4 \\ 18 & \{1,2,3,2\} & 4 \\ 19 & \{1,3,2,1\} & 4 \\ 20 & \{1,3,2,3\} & 4 \\ 21 & \{2,1,3,2\} & 4 \\ 22 & \{2,3,2,1\} & 4 \\ 23 & \{2,3,2,3\} & 4 \\ 24 & \{3,2,1,3\} & 4 \\ 25 & \{1,2,1,3,2\} & 5 \\ 26 & \{1,2,3,2,1\} & 5 \\ 27 & \{1,2,3,2,3\} & 5 \\ 28 & \{1,3,2,1,3\} & 5 \\ 29 & \{2,1,3,2,1\} & 5 \\ 30 & \{2,1,3,2,3\} & 5 \\ 31 & \{2,3,2,1,3\} & 5 \\ 32 & \{3,2,1,3,2\} & 5 \\ 33 & \{1,2,1,3,2,1\} & 6 \\ 34 & \{1,2,1,3,2,3\} & 6 \\ 35 & \{1,2,3,2,1,3\} & 6 \\ 36 & \{1,3,2,1,3,2\} & 6 \\ 37 & \{2,1,3,2,1,3\} & 6 \\ 38 & \{2,3,2,1,3,2\} & 6 \\ 39 & \{3,2,1,3,2,3\} & 6 \\ 40 & \{1,2,1,3,2,1,3\} & 7 \\ 41 & \{1,2,3,2,1,3,2\} & 7 \\ 42 & \{1,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ 43 & \{2,1,3,2,1,3,2\} & 7 \\ 44 & \{2,3,2,1,3,2,3\} & 7 \\ 45 & \{1,2,1,3,2,1,3,2\} & 8 \\ 46 & \{1,2,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ 47 & \{2,1,3,2,1,3,2,3\} & 8 \\ 48 & \{1,2,1,3,2,1,3,2,3\} & 9 \end{array} \]
관련된 항목들