"상수계수 이계미분방정식의 응용사례 - 물리학"의 두 판 사이의 차이
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− | # 단순조화진동자<br> 단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 <math>k</math>), 용수철에 달릴 질량이 <math>m</math> 인 추로 이루어진 물리계를 의미한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 <math>m</math> 이 달려있어야 한다.<br> 이제 <math>m</math> 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 <math>m</math>(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 <math>x</math> 라 하자. (편의상 <math>x>0</math> 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.<br><math>m \ddot{x} = -kx</math> (식 1)<br> 식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.<br><math>\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0</math> (식 2)<br> 일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 <math>a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0</math> 으로 나타낸다면 <math>a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}</math> 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다. 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 <math>\ddot{x} = - \frac{k}{m} x</math> 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 <math>x>0</math> 일 때는 항상 <math>\ddot{x}<0</math> 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. | + | # 단순조화진동자<br> 단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 <math>k</math>), 용수철에 달릴 질량이 <math>m</math> 인 추로 이루어진 물리계를 의미한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 <math>m</math> 이 달려있어야 한다.<br> 이제 <math>m</math> 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 <math>m</math>(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 <math>x</math> 라 하자. (편의상 <math>x>0</math> 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.<br><math>m \ddot{x} = -kx</math> (식 1)<br> 식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.<br><math>\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0</math> (식 2)<br> 일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 <math>a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0</math> 으로 나타낸다면 <math>a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}</math> 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다.<br> 수학적인 해법은 다른 노트에서도 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 <math>\ddot{x} = - \frac{k}{m} x</math> 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 <math>x>0</math> 일 때는 항상 <math>\ddot{x}<0</math> 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. 이를 다소 논리적 비약을 통해 이해한다면 훅의 법칙을 수식을 사용해 표현한 것에 지나지 않는다고 말할 수도 있을 것이다. 따라서 우리는 이를 힌트로 삼아 이와 같은 성질을 만족하는 함수들 가운데에서 이 미분방정식의 해를 찾을 수 있을 것임을 알 수 있다. 또한 이 미분방정식의 해가 가져야 할 미분가능성에 대해 생각해보면 이 방정식의 해는 smooth 해야 할 것이다. 다행스럽게도 초등함수들 가운데 이와 같은 성질을 만족하는 함수가 존재한다! 바로 삼각함수이다. |
2012년 2월 28일 (화) 04:29 판
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개요
상수계수 이계미분방정식은 물리학이나 공학 등 여러 학문에서 자연을 기술하는 단순한 모델에서 자주 등장한다. 이 문서에서는 상수계수 이계미분방정식이 물리학에서 등장하는 대표적인 사례들을 알아보고 이들의 해법과 그 물리학적 의미를 제시한다.
- 단순조화진동자
단순조화진동자(Simple Harmonic Oscillator; SHO)란 질량을 무시할 수 있는 용수철(탄성계수는 \(k\)), 용수철에 달릴 질량이 \(m\) 인 추로 이루어진 물리계를 의미한다. 이 때, 용수철의 한쪽 끝은 한 점에 고정되어 있으며 반대쪽 끝에 \(m\) 이 달려있어야 한다.
이제 \(m\) 이 외력에 의해 평형위치에서 벗어나 있는 상황을 생각한다. 평형위치에서 \(m\)(고전역학을 비롯한 물리학의 여러 범주에서 어떤 사물을 부를 때 단순히 그 물체의 질량을 말하는 것으로 대신하는 경우가 관습적으로 매우 빈번하다)까지의 거리를 \(x\) 라 하자. (편의상 \(x>0\) 인 좌표계를 설정한다.) 이러한 상황에서 뉴턴의 운동 제 2 법칙과 함께 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같은 상수계수 이계미분방정식을 얻는다.
\(m \ddot{x} = -kx\) (식 1)
식을 조금 정리하여 미분 횟수에 대한 내림차순 정렬을 하면 기본적인 상수계수 이계미분방정식의 형태를 얻을 수 있다.
\(\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0\) (식 2)
일반적인 동차(homogeneous) 상수계수 이계미분방정식의 형태를 \(a \ddot{x} + b \dot{x} + cx = 0\) 으로 나타낸다면 \(a=1 , b = 0 , c = \frac{k}{m}\) 인 경우에 해당함을 쉽게 알 수 있다.
수학적인 해법은 다른 노트에서도 주어진 미분방정식의 의미를 곱씹어보면 해법에 대한 직관적인 시각을 갖출 수 있다. 우선 \(\ddot{x} = - \frac{k}{m} x\) 라고 하는 것은 가속도(곡률)의 부호가 항상 변위부호의 반대임을 의미한다. 이를 다시 말하면 \(x>0\) 일 때는 항상 \(\ddot{x}<0\) 이라서 물체가 항상 제자리에 돌아오려고 한다는 뜻이다. 이를 다소 논리적 비약을 통해 이해한다면 훅의 법칙을 수식을 사용해 표현한 것에 지나지 않는다고 말할 수도 있을 것이다. 따라서 우리는 이를 힌트로 삼아 이와 같은 성질을 만족하는 함수들 가운데에서 이 미분방정식의 해를 찾을 수 있을 것임을 알 수 있다. 또한 이 미분방정식의 해가 가져야 할 미분가능성에 대해 생각해보면 이 방정식의 해는 smooth 해야 할 것이다. 다행스럽게도 초등함수들 가운데 이와 같은 성질을 만족하는 함수가 존재한다! 바로 삼각함수이다.
역사
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