"4차 상호법칙"의 두 판 사이의 차이

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개요

4차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해

4차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 항목 참조

용어와 기호

\(i=\sqrt{-1}\)
\(\alpha\in \mathbb{Z}[i]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i\)를 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
- 이는 \(\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4\)와 동치
\(N\alpha=a^2+b^2\)

상호법칙

정리

\(\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]\)가 서로소이고 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. \] 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}. \]

테이블

다음 표의 \((a,b)\)는 \(a+bi\in \mathbb{Z}[i]\)를 나타냄
빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
서로 소인 소수 \(x,y\in \mathbb{Z}[i]\)에 대한 \(\left(\frac{y}{x}\right)_4\)의 값

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ \hline (-3,0) & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline (-1,-2) & i & & i & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline (-1,2) & -i & -i & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline (-7,0) & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (3,-2) & -1 & -1 & -i & i & i & & -i & -i & -i & -i \\ \hline (3,2) & -1 & i & -1 & -i & -i & i & & i & i & i \\ \hline (1,-4) & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & -1 & -1 \\ \hline (1,4) & -i & -1 & i & i & i & -i & i & -1 & & -1 \\ \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 & \\ \hline\end{array} \]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1

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 ===용어와 기호===
-* $i=\sqrt{-1}$
+* <math>i=\sqrt{-1}</math>
-* $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$를 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
+* <math>\alpha\in \mathbb{Z}[i]</math>가 <math>\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i</math>를 만족하면, <math>\alpha</math>를 primary라고 부른다
-** 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
+** 이는 <math>\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4</math>와 동치
-* $N\alpha=a^2+b^2$
+* <math>N\alpha=a^2+b^2</math>
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 ;정리
-* $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$가 서로소이고 primary라 하자.
+* <math>\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]</math>가 서로소이고 primary라 하자.
 :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. </math>
 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다
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 ==테이블==
-* 다음 표의 $(a,b)$는 $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$를 나타냄
+* 다음 표의 <math>(a,b)</math>는 <math>a+bi\in \mathbb{Z}[i]</math>를 나타냄
 * 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
-* 서로 소인 소수 $x,y\in \mathbb{Z}[i]$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
+* 서로 소인 소수 <math>x,y\in \mathbb{Z}[i]</math>에 대한 <math>\left(\frac{y}{x}\right)_4</math>의 값
-$$
+:<math>
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\
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   \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 &  \\
   \hline\end{array}
-$$
+</math>
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 ==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1
+==관련논문==
+* Watabe, Mutsuo. “An Arithmetical Application of Elliptic Functions to the Theory of Biquadratic Residues.” Abhandlungen Aus Dem Mathematischen Seminar Der Universität Hamburg 49, no. 1 (May 1979): 118–25. doi:10.1007/BF02950652.
+* Kubota, Tomio. “Some Arithmetical Applications of an Elliptic Function.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 0214_0215 (1964): 141–45.
 [[분류:정수론]]

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