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| − | ** 이는 | + | ** 이는 <math>\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4</math>와 동치 |
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| − | * | + | * <math>\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]</math>가 서로소이고 primary라 하자. |
:<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. </math> | :<math>\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. </math> | ||
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* 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미 | * 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미 | ||
| − | * 서로 소인 소수 | + | * 서로 소인 소수 <math>x,y\in \mathbb{Z}[i]</math>에 대한 <math>\left(\frac{y}{x}\right)_4</math>의 값 |
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\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} | \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} | ||
x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ | x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ | ||
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2020년 11월 13일 (금) 16:39 기준 최신판
개요
- 4차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해
4차 상호법칙
거듭제곱 잉여 부호
- 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 항목 참조
용어와 기호
- \(i=\sqrt{-1}\)
- \(\alpha\in \mathbb{Z}[i]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i\)를 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
- 이는 \(\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4\)와 동치
- \(N\alpha=a^2+b^2\)
상호법칙
- 정리
- \(\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]\)가 서로소이고 primary라 하자.
\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. \] 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}. \]
테이블
- 다음 표의 \((a,b)\)는 \(a+bi\in \mathbb{Z}[i]\)를 나타냄
- 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
- 서로 소인 소수 \(x,y\in \mathbb{Z}[i]\)에 대한 \(\left(\frac{y}{x}\right)_4\)의 값
\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ \hline (-3,0) & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline (-1,-2) & i & & i & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline (-1,2) & -i & -i & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline (-7,0) & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (3,-2) & -1 & -1 & -i & i & i & & -i & -i & -i & -i \\ \hline (3,2) & -1 & i & -1 & -i & -i & i & & i & i & i \\ \hline (1,-4) & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & -1 & -1 \\ \hline (1,4) & -i & -1 & i & i & i & -i & i & -1 & & -1 \\ \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 & \\ \hline\end{array} \]
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
관련논문
- Watabe, Mutsuo. “An Arithmetical Application of Elliptic Functions to the Theory of Biquadratic Residues.” Abhandlungen Aus Dem Mathematischen Seminar Der Universität Hamburg 49, no. 1 (May 1979): 118–25. doi:10.1007/BF02950652.
- Kubota, Tomio. “Some Arithmetical Applications of an Elliptic Function.” Journal Für Die Reine Und Angewandte Mathematik 0214_0215 (1964): 141–45.