Non-holomorphic modular forms

weight 2 Eisenstein series

• \(k=1\)인 경우의 아이젠슈타인급수는 위에서 얻은 푸리에 급수를 이용하여 정의
  \(G_{2}(\tau) = \zeta(2) \left(1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n} \right)\)
  
• 원래의 정의와 비슷하게 쓰려면 절대수렴하지 않는 급수 다음과 같이 덧셈의 순서를 따름
  \(G_{2}(\tau) = \frac{1}{2}\sum_{n\neq 0} \frac{1}{n^2}+\frac{1}{2}\sum_{m\neq0}\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{(m\tau+n)^{2}}\)
  
• 정규 아이젠슈타인 급수
  \(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
  
• modularity
  \(G_{2} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2} G_{2}(\tau)-\pi i c(c\tau+d)\)
  

 

 

E2 as a non-holomorphic modular form

• \(\tau = x+ iy\), \(y > 0 \)에 대하여 다음과 정의된 함수는 모듈라 성질을 가짐
  \(G^{*}_{2}(\tau) = G_{2}(\tau)-\frac{\pi}{2y}\)
  \(E^{*}_{2}(\tau) = E_{2}(\tau)-\frac{3}{\pi y}\)
  
• obtaing modularity losing holomorphicity
  

 

 

Zagier's function

• Hurwitz class numbers
• Cox_on_Hurwitz_class_number.pdf (Cox's book 319p)

• Zagier's paper
  
  • 4371_001.pdf

• Zagier-Hirzebruch function
  
  • Intersection numbers of curves on Hibert modular surfaces and modular forms of Nebentypus
  • function with coefficients as Hurwitz class numbers
  • zagier_hirzebruch.pdf
• Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters
  
  • Henri Cohen, 1975