"모듈라 곡선 X0(50)"의 두 판 사이의 차이

2020년 11월 13일 (금) 18:22 기준 최신판

개요

대수곡선 \(X_0(50)\)
종수 2
곡선 위에 정의된 함수

\[ u=q^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})}{(1-q^{n})(1-q^{50n})} =\frac{1}{q}+1+q+2 q^2+2 q^3+3 q^4 \\ v=q^{-3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})^2}{(1-q^{n})(1-q^{50n})^2} = \frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^2}+1+q^3+q^7 \]

다음이 성립한다

\[ v+5u^3/v=u^3-2u^2-2u+1 \]

involution

\[ u\mapsto -1/u, v\mapsto v/u \]

타원곡선

involution에 의한 불변량

\[ s=\frac{(1+u) v}{u^2},t=\frac{(1+u)^2}{u} \]

다음이 성립한다

\[ s^2-s (t-5) t+5 t=0 \]

좌표변환 \(x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2\)로부터 다음의 타원곡선을 얻는다

\[ E:y^2=4 x^3+25 x^2+50 x+25 \]

모듈라 형식

미분형식 \(\omega_E=-\frac{dx}{y}\)의 \(\pi : X_0(50)\to E\)에 대한 pullback은 다음과 같다

\[ 2\pi i f dz=\pi^{*}\omega_E=(q-q^2+q^3+q^4-q^6+2 q^7-q^8-2 q^9+\cdots)\frac{dq}{q} \] 여기서 \(q=e^{2\pi i z}\)

메모

http://arxiv.org/abs/1405.6385

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVW9YaGFieG9uUW8/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

Calegari, Frank. 2006. “Book Review: A First Course in Modular Forms.” Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC 43 (03): 415–422. doi:10.1090/S0273-0979-06-01098-6. http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01098-6/S0273-0979-06-01098-6.pdf
Birch, B. J. "Some calculations of modular relations." In Modular Functions of One Variable I, pp. 175-186. Springer Berlin Heidelberg, 1973.

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 ==개요==
-* 대수곡선 $X_0(50)$
+* 대수곡선 <math>X_0(50)</math>
 * 종수 2
 * 곡선 위에 정의된 함수
-$$
+:<math>
 u=q^{-1}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})}{(1-q^{n})(1-q^{50n})} =\frac{1}{q}+1+q+2 q^2+2 q^3+3 q^4 \\
 v=q^{-3}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{25n})(1-q^{2n})^2}{(1-q^{n})(1-q^{50n})^2} = \frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^2}+1+q^3+q^7
-$$
+</math>
 * 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 v+5u^3/v=u^3-2u^2-2u+1
-$$
+</math>
 * involution
-$$
+:<math>
 u\mapsto -1/u, v\mapsto v/u
-$$
+</math>
 ===타원곡선===
 * involution에 의한 불변량
-$$
+:<math>
 s=\frac{(1+u) v}{u^2},t=\frac{(1+u)^2}{u}
-$$
+</math>
 * 다음이 성립한다
-$$
+:<math>
 s^2-s (t-5) t+5 t=0
-$$
+</math>
-* 좌표변환 $x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2$로부터 다음의 타원곡선을 얻는다
+* 좌표변환 <math>x=-5/t,y=5(2s-t(t-5))/t^2</math>로부터 다음의 타원곡선을 얻는다
-$$
+:<math>
 E:y^2=4 x^3+25 x^2+50 x+25
-$$
+</math>
 ===모듈라 형식===
-* 미분형식 $\omega_E=-\frac{dx}{y}$의 $\pi : X_0(50)\to E$에 대한 pullback은 다음과 같다
+* 미분형식 <math>\omega_E=-\frac{dx}{y}</math>의 <math>\pi : X_0(50)\to E</math>에 대한 pullback은 다음과 같다
-$$
+:<math>
 \pi i f dz=\pi^{*}\omega_E=(q-q^2+q^3+q^4-q^6+2 q^7-q^8-2 q^9+\cdots)\frac{dq}{q}
-$$
+</math>
-여기서 $q=e^{2\pi i z}$
+여기서 <math>q=e^{2\pi i z}</math>
+==메모==
+* http://arxiv.org/abs/1405.6385
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 * Calegari, Frank. 2006. “Book Review: A First Course in Modular Forms.” Bulletin of The American Mathematical Society - BULL AMER MATH SOC 43 (03): 415–422. doi:10.1090/S0273-0979-06-01098-6. http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01098-6/S0273-0979-06-01098-6.pdf
 * Birch, B. J. "Some calculations of modular relations." In Modular Functions of One Variable I, pp. 175-186. Springer Berlin Heidelberg, 1973.
+[[분류:에세이]]