"모든 자연수의 곱과 리만제타함수"의 두 판 사이의 차이
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| − | * <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> | + | * 모든 자연수의 곱은 물론 발산 |
| − | + | * 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음 | |
| − | + | * <math>\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}</math> (아래에서 증명함) | |
| − | * | + | * <math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}</math> , <math>\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}</math> |
| − | + | * 여기서 (형식적으로):<math>\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n</math>:<math>\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}</math> | |
| + | * 즉 모든 자연수의 곱은 <math>\sqrt{2\pi}</math> (!?) | ||
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| − | + | ==증명에 앞서 알아야 할 사실들== | |
| − | + | * [[감마함수]] | |
| + | * [[리만제타함수]]의 함수방정식 | ||
| + | :<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}</math> | ||
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| − | ==== | + | ==증명== |
| + | 함수 <math>f(s):=s\zeta(1-s)</math>를 정의하자. | ||
| + | 이제 | ||
| + | :<math>\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math> | ||
| + | 의 <math>s=0</math> 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다 | ||
| + | :<math> | ||
| + | \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}\left(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2})\right)+ \frac{f'(0)}{f(0)} | ||
| + | \label{sum} | ||
| + | </math> | ||
| + | 여기서 <math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>는 [[다이감마 함수(digamma function)]]. | ||
| − | + | 함수 <math>\psi</math>에 대하여 다음이 성립한다 : | |
| − | + | :<math>\psi(1) = -\gamma,\, \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma</math> | |
| − | + | 한편, <math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(s-1)</math> 를 이용하면, <math>s=0</math> 주변에서 <math>f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)</math>임을 안다. 따라서 | |
| + | :<math>\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma.</math> | ||
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| + | :<math>\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi</math> | ||
| + | 이제 <math>\zeta(0)=-1/2</math>로부터 <math>\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}</math>를 얻는다. | ||
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| + | ==관련된 항목들== | ||
| + | * [[리만제타함수]] | ||
| + | * [[스펙트럼 제타 함수]] | ||
* [[파이가 아니라 2파이다?]] | * [[파이가 아니라 2파이다?]] | ||
| + | * [[L-함수의 미분]] | ||
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| − | + | ==관련논문== | |
| + | * García, E. Muñoz, and R. Pérez Marco. “The Product Over All Primes Is 4π2.” Communications in Mathematical Physics 277, no. 1 (January 1, 2008): 69–81. doi:10.1007/s00220-007-0350-z. | ||
| − | + | [[분류:리만 제타 함수]] | |
2020년 11월 13일 (금) 23:16 기준 최신판
개요
- 모든 자연수의 곱은 물론 발산
- 리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
- \(\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}\) (아래에서 증명함)
- \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}\) , \(\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}\)
- 여기서 (형식적으로)\[\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n\]\[\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}\]
- 즉 모든 자연수의 곱은 \(\sqrt{2\pi}\) (!?)
증명에 앞서 알아야 할 사실들
\[\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}\]
증명
함수 \(f(s):=s\zeta(1-s)\)를 정의하자. 이제 \[\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}\] 의 \(s=0\) 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다 \[ \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}\left(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2})\right)+ \frac{f'(0)}{f(0)} \label{sum} \] 여기서 \(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)는 다이감마 함수(digamma function).
함수 \(\psi\)에 대하여 다음이 성립한다 : \[\psi(1) = -\gamma,\, \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma\]
한편, \(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O(s-1)\) 를 이용하면, \(s=0\) 주변에서 \(f(s)=-1+\gamma s+O(s^2)\)임을 안다. 따라서 \[\frac{f'(0)}{f(0)}=-\gamma.\]
얻어진 결과들을 \ref{sum}에 적용하여 다음을 얻는다. \[\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}(-\gamma-2\ln2-\gamma)-\gamma=\log 2\pi\] 이제 \(\zeta(0)=-1/2\)로부터 \(\zeta'(0)=-\log \sqrt{2\pi}\)를 얻는다.
역사
관련된 항목들
관련논문
- García, E. Muñoz, and R. Pérez Marco. “The Product Over All Primes Is 4π2.” Communications in Mathematical Physics 277, no. 1 (January 1, 2008): 69–81. doi:10.1007/s00220-007-0350-z.