"라마누잔의 class invariants"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
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* 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
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* 자연수 <math>n</math>에 대한 다음과 같은 함수값의 계산 (singular moduli)
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:<math>
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G_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}(\sqrt{-n})\\
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g_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}
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</math>
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* 유체론(class field theory)에서 중요한 역할을 함
  
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<math>g_{58}^2=\frac{\sqrt{29}+5}{2}</math>
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===기호===
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*  nome <math>q=e^{2\pi i \tau}</math>
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* [[데데킨트 에타함수]] <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math>
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* [[베버(Weber) 모듈라 함수]]
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:<math>\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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:<math>\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})</math>
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:<math>\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})</math>
  
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==special values==
  
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<h5>하위주제들</h5>
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<math>G_{25}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>
  
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<math>g_{10}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}</math>
  
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<math>g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}</math>
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==class invariants의 계산==
  
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* [[크로네커 극한 공식]]의 이용
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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;정리
  
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* [[라마누잔과 파이]]
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판별식이 같은 즉 <math>m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2</math> 인 두 양의정부호 이차형식 <math>Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2</math>와  <math>Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2</math> 에 대하여 다음이 성립한다
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:<math>\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}</math>
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여기서,
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:<math>
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\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}, \omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}
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</math>
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* 다음과 같이 두고 위의 정리를 적용하자
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:<math>m=2ac, \,Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2, \,Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2,\tau=i\sqrt\frac{2c}{a},\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}</math>
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* 다음을 얻는다
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:<math>\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}</math>
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==예==
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===<math>g_{58}</math>의 계산===
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* <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-58})</math>, <math>C_K</math> : class group:<math>d_K=\Delta=b^2-4ac=-240</math>인 [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]은 다음 두 개의 class를 가짐:<math>Q_1(x,y)=x^2+58y^2</math>, <math>Q_2(x,y)=2x^2+29y^2</math>
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*  준동형사상 <math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>에 대하여 일반화된 [[데데킨트 제타함수]]를 정의할 수 있음:<math>L(s, \chi) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)</math>
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*  일반적으로 <math>{d_K}=d_1d_2</math>에 대응되는 genus character <math>\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}</math>  (<math>\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}</math>) 를 정의할 수 있는데, <math>d_K=d_1d_2</math>, <math>d_1=29,d_2=-8</math> 로 두면, 다음을 얻는다:<math>\chi(Q_1)=\left(\frac{29}{x^2+58y^2} \right)=\left(\frac{29}{59} \right)=1</math>:<math>\chi(Q_2)=\left(\frac{29}{2x^2+29y^2} \right)=\left(\frac{29}{31} \right)=-1</math>
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*  위에서 얻은 정리를 이용(<math>m=58</math>, <math>a=1</math>, <math>c=29</math> 인 경우)하면 다음을 얻는다 :<math>L(s, \chi) =\chi(Q_1)\zeta_K(s,Q_1)+\chi(Q_2)\zeta_K(s,Q_2)</math> <math>\zeta_K(s,Q_1)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_1}(s) \quad \zeta_K(s,Q_2)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_2}(s)</math> 이므로:<math>L(1, \chi) =\frac{1}{2}\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s)=\frac{2\pi}{\sqrt{58}}\ln g_{58}</math>
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* [[이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식 |이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식]]에 의하여 다음을 얻는다:<math>L_{d_1}(1)=\frac{2 h_1 \ln \epsilon}{\sqrt{d_1}}= \frac{2\ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{29}}</math>:<math>L_{d_2}(1)=\frac{2\pi h_2}{w_2 \cdot \sqrt{|d_2|}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}</math>
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* [[판별식이 작은 경우의 이차형식 목록]]과 [[실 이차 수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit|실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit]] 항목을 참조
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* [[데데킨트 제타함수]]에서 얻은 결과 <math>L(s, \chi) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)</math> 를 이용하면 다음을 얻는다:<math>L(1, \chi) =L_{d_1}(1)L_{d_2}(1)=\frac{\pi  \ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{58}}</math>
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*  위의 <math>L(1, \chi)</math> 에 대한 두 표현을 비교하여 다음을 얻는다:<math>g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}</math>
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==오일러의 convenient 수==
  
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* 다음 [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]] 에 대해서는  <math>g_{58}</math>을 구하는 것과 똑같은 방법을 적용하여 <math>g_{n}</math> 을 계산할 수 있음
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* n=10,{x^2+10 y^2,2 x^2+5 y^2}
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* n=18,{x^2+18 y^2,2 x^2+9 y^2}
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* n=22,{x^2+22 y^2,2 x^2+11 y^2}
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* n=28,{x^2+28 y^2,4 x^2+7 y^2}
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* n=30,{x^2+30 y^2,2 x^2+15 y^2,3 x^2+10 y^2,5 x^2+6 y^2}
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* n=42,{x^2+42 y^2,2 x^2+21 y^2,3 x^2+14 y^2,6 x^2+7 y^2}
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* n=58,{x^2+58 y^2,2 x^2+29 y^2}
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* n=60,{x^2+60 y^2,3 x^2+20 y^2,4 x^2+15 y^2,5 x^2+12 y^2}
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* n=70,{x^2+70 y^2,2 x^2+35 y^2,5 x^2+14 y^2,7 x^2+10 y^2}
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* n=78,{x^2+78 y^2,2 x^2+39 y^2,3 x^2+26 y^2,6 x^2+13 y^2}
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* n=102,{x^2+102 y^2,2 x^2+51 y^2,3 x^2+34 y^2,6 x^2+17 y^2}
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* n=130,{x^2+130 y^2,2 x^2+65 y^2,5 x^2+26 y^2,10 x^2+13 y^2}
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* n=190{x^2+190 y^2,2 x^2+95 y^2,5 x^2+38 y^2,10 x^2+19 y^2}
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* n=210{x^2+210 y^2,2 x^2+105 y^2,3 x^2+70 y^2,5 x^2+42 y^2,6 x^2+35 y^2,7 x^2+30 y^2,10 x^2+21 y^2,14 x^2+15 y^2}
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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* [http://www.amazon.com/Ramanujans-Notebooks-Bruce-C-Berndt/dp/0387961100/ref=pd_sim_b_3 Ramanujan's Notebooks]: V<br>
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** Bruce C. Berndt
 
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* 도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
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*  도서검색<br>
 
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
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** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==메모==
  
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* [http://arxiv1.library.cornell.edu/abs/math/0308028v1 Ramanujan's Most Singular Modulus]<br>
 
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** Mark B. Villarino
 
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** Arxiv, 2003-8
 
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* [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa73/aa7316.pdf Ramanujan’s class invariants and cubic continued fraction]<br>
 
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** BC Berndt, HH Chan, LC Zhang
 
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** ACTA ARITHMETICA LXXIII.1 (1995)
 
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* [http://www.ams.org/tran/1997-349-06/S0002-9947-97-01738-8/S0002-9947-97-01738-8.pdf Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations]<br>
 
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** BC Berndt, HH Chan, LC Zhang
 
−
** Transactions of the American Mathematical Society, 1997
 
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* [http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=20087 RAMANUJAN–WEBER CLASS INVARIANT Gn AND WATSON'S EMPIRICAL PROCESS]<br>
 
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** HH Chan
 
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** Journal of the London Mathematical Society, 1998
 
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* [http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf Ramanujan and the modular j-invariant]<br>
 
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** BC Berndt, HH Chan
 
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** Canadian Mathematical Bulletin, 1999
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
 
* http://scholar.google.com/scholar?q=ramanujan%27s+class+invariants&hl=ko&lr=&start=10&sa=N
 
* http://scholar.google.com/scholar?q=ramanujan%27s+class+invariants&hl=ko&lr=&start=10&sa=N
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* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
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* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
  
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<math>G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})</math>
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<math>g_n:=(\frac{k'(\sqrt{-n})^2}{2k(\sqrt{-n})})^{1/12}=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})</math>
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQjRLV0hLODR3WjA/edit
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* http://mathworld.wolfram.com/Ramanujang-andG-Functions.html
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==관련된 항목들==
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* [[오일러의 convenient number ( Idoneal number)]]
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* [[라마누잔과 파이]]
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* [[로저스-라마누잔 항등식|로저스-라마누잔 연분수와 항등식]]
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* [[Chowla-셀베르그 공식]]
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==관련도서==
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* Bruce C. Berndt, [http://www.amazon.com/Ramanujans-Notebooks-Bruce-C-Berndt/dp/0387961100/ref=pd_sim_b_3 Ramanujan's Notebooks]: V
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Villarino, Mark B. 2003. “Ramanujan’s Most Singular Modulus.” arXiv:math/0308028, August. http://arxiv.org/abs/math/0308028.
  
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<h5>블로그</h5>
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==관련논문==
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* [http://www.journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/berndt7376/body/PDF/berndt7376.pdf Ramanujan and the modular j-invariant]
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** BC Berndt, HH Chan, Canadian Mathematical Bulletin, 1999
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* [http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=20087 RAMANUJAN–WEBER CLASS INVARIANT Gn AND WATSON'S EMPIRICAL PROCESS]
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** Heng Huat Chan, Journal of the London Mathematical Society, 1998
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* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.39.4015 Ramanujan's Class Invariants With Applications To The Values Of q-Continued Fractions And Theta-Functions]
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** Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang, 1997
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* [http://www.ams.org/tran/1997-349-06/S0002-9947-97-01738-8/S0002-9947-97-01738-8.pdf Ramanujan's class invariants, Kronecker's limit formula, and modular equations]
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** Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang Transactions of the American Mathematical Society, 1997
 +
* [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa73/aa7316.pdf Ramanujan’s class invariants and cubic continued fraction]
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** Bruce C. Berndt ,  Heng Huat Chan ,  Liang-Cheng Zhang, ACTA ARITHMETICA LXXIII.1 (1995)
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* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-3.1.189 Some singular moduli (II)]
 +
* G.N. Watson, Q J Math 1932 os-3: 189-212
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* [http://dx.doi.org/10.1093/qmath/os-3.1.81 Some singular moduli (I)]
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** G.N. Watson
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
  
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[[분류:정수론]]

2020년 11월 16일 (월) 04:00 기준 최신판

개요

  • 라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
  • 자연수 \(n\)에 대한 다음과 같은 함수값의 계산 (singular moduli)

\[ G_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}(\sqrt{-n})\\ g_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})} \]

  • 유체론(class field theory)에서 중요한 역할을 함


기호

\[\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\] \[\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\]


special values

\(G_{25}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)

\(g_{10}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)

\(g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\)



class invariants의 계산

정리

판별식이 같은 즉 \(m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2\) 인 두 양의정부호 이차형식 \(Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2\)와 \(Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2\) 에 대하여 다음이 성립한다 \[\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}\] 여기서, \[ \tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}, \omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2} \]


  • 다음과 같이 두고 위의 정리를 적용하자

\[m=2ac, \,Q_1(X,Y)=aX^2+2cY^2, \,Q_2(X,Y)=2aX^2+cY^2,\tau=i\sqrt\frac{2c}{a},\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}\]

  • 다음을 얻는다

\[\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}\]


예

\(g_{58}\)의 계산


  • 준동형사상 \(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)에 대하여 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음\[L(s, \chi) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)\]
  • 일반적으로 \({d_K}=d_1d_2\)에 대응되는 genus character \(\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}\) (\(\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}\)) 를 정의할 수 있는데, \(d_K=d_1d_2\), \(d_1=29,d_2=-8\) 로 두면, 다음을 얻는다\[\chi(Q_1)=\left(\frac{29}{x^2+58y^2} \right)=\left(\frac{29}{59} \right)=1\]\[\chi(Q_2)=\left(\frac{29}{2x^2+29y^2} \right)=\left(\frac{29}{31} \right)=-1\]
  • 위에서 얻은 정리를 이용(\(m=58\), \(a=1\), \(c=29\) 인 경우)하면 다음을 얻는다 \[L(s, \chi) =\chi(Q_1)\zeta_K(s,Q_1)+\chi(Q_2)\zeta_K(s,Q_2)\] \(\zeta_K(s,Q_1)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_1}(s) \quad \zeta_K(s,Q_2)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_2}(s)\) 이므로\[L(1, \chi) =\frac{1}{2}\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s)=\frac{2\pi}{\sqrt{58}}\ln g_{58}\]
  • 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식에 의하여 다음을 얻는다\[L_{d_1}(1)=\frac{2 h_1 \ln \epsilon}{\sqrt{d_1}}= \frac{2\ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{29}}\]\[L_{d_2}(1)=\frac{2\pi h_2}{w_2 \cdot \sqrt{|d_2|}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\]
  • 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록과 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조


  • 데데킨트 제타함수에서 얻은 결과 \(L(s, \chi) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)\) 를 이용하면 다음을 얻는다\[L(1, \chi) =L_{d_1}(1)L_{d_2}(1)=\frac{\pi \ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{58}}\]
  • 위의 \(L(1, \chi)\) 에 대한 두 표현을 비교하여 다음을 얻는다\[g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}\]



오일러의 convenient 수

  • 다음 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 에 대해서는 \(g_{58}\)을 구하는 것과 똑같은 방법을 적용하여 \(g_{n}\) 을 계산할 수 있음
  • n=10,{x^2+10 y^2,2 x^2+5 y^2}
  • n=18,{x^2+18 y^2,2 x^2+9 y^2}
  • n=22,{x^2+22 y^2,2 x^2+11 y^2}
  • n=28,{x^2+28 y^2,4 x^2+7 y^2}
  • n=30,{x^2+30 y^2,2 x^2+15 y^2,3 x^2+10 y^2,5 x^2+6 y^2}
  • n=42,{x^2+42 y^2,2 x^2+21 y^2,3 x^2+14 y^2,6 x^2+7 y^2}
  • n=58,{x^2+58 y^2,2 x^2+29 y^2}
  • n=60,{x^2+60 y^2,3 x^2+20 y^2,4 x^2+15 y^2,5 x^2+12 y^2}
  • n=70,{x^2+70 y^2,2 x^2+35 y^2,5 x^2+14 y^2,7 x^2+10 y^2}
  • n=78,{x^2+78 y^2,2 x^2+39 y^2,3 x^2+26 y^2,6 x^2+13 y^2}
  • n=102,{x^2+102 y^2,2 x^2+51 y^2,3 x^2+34 y^2,6 x^2+17 y^2}
  • n=130,{x^2+130 y^2,2 x^2+65 y^2,5 x^2+26 y^2,10 x^2+13 y^2}
  • n=190{x^2+190 y^2,2 x^2+95 y^2,5 x^2+38 y^2,10 x^2+19 y^2}
  • n=210{x^2+210 y^2,2 x^2+105 y^2,3 x^2+70 y^2,5 x^2+42 y^2,6 x^2+35 y^2,7 x^2+30 y^2,10 x^2+21 y^2,14 x^2+15 y^2}




메모

\(G_n:=(2kk')^{-1/12}=2^{-1/4}f(\sqrt{-n})\)

\(g_n:=(\frac{k'(\sqrt{-n})^2}{2k(\sqrt{-n})})^{1/12}=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})\)



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