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==유클리드 호제법== | ==유클리드 호제법== | ||
| − | * 두 정수 | + | * 두 정수 <math>a,b</math>의 최대공약수를 구하는 알고리즘 |
| − | * | + | * <math>a\geq b >0</math>라고 가정하자 |
| − | * | + | * <math>r_{-1}=a, r_0=b</math>라 두고, 다음과 같은 나눗셈을 반복 |
| − | + | :<math> | |
\begin{aligned} | \begin{aligned} | ||
r_{-1}&=r_0q_0+r_1,\, 0<r_1<r_0 \\ | r_{-1}&=r_0q_0+r_1,\, 0<r_1<r_0 \\ | ||
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r_{n}&=r_{n+1}q_{n+1}\\ | r_{n}&=r_{n+1}q_{n+1}\\ | ||
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| − | * 나눗셈을 반복하여 나머지가 0이 될 때, 얻어지는 | + | * 나눗셈을 반복하여 나머지가 0이 될 때, 얻어지는 <math>r_{n+1}</math>이 <math>a,b</math>의 최대공약수이다 |
| − | * 이 때, | + | * 이 때, <math>k=n+2</math>회의 나눗셈이 필요하며, <math>a\geq F_{k+1}=F_{n+3}</math>이 성립한다. 여기서 <math>F_k</math>는 [[피보나치 수열]] |
| − | + | :<math>F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n</math> | |
;정리 | ;정리 | ||
| − | 두 자연수 | + | 두 자연수 <math>a\geq b>0</math>에 유클리드 호제법을 적용할 때 필요한 나눗셈의 회수 <math>k</math>에 대하여 다음이 성립한다 |
| − | + | :<math> | |
k<2.08\log a+1.45 | k<2.08\log a+1.45 | ||
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===예1=== | ===예1=== | ||
| − | * 두 자연수 | + | * 두 자연수 <math>692,128</math>에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다 |
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\begin{array}{c|c|c} | \begin{array}{c|c|c} | ||
k & r_k & r_{k+1} \\ | k & r_k & r_{k+1} \\ | ||
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3 & 4 & 0 \\ | 3 & 4 & 0 \\ | ||
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* 따라서 최대공약수는 4가 된다 | * 따라서 최대공약수는 4가 된다 | ||
| − | * | + | * <math>2.08\log 692+1.45=15.03\cdots</math> |
===예2=== | ===예2=== | ||
| − | * 두 자연수 | + | * 두 자연수 <math>610,377</math>에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다 |
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k & r_k & r_{k+1} \\ | k & r_k & r_{k+1} \\ | ||
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| − | + | </math> | |
* 따라서 최대공약수는 1이고, 14번의 나눗셈을 수행하게 된다 | * 따라서 최대공약수는 1이고, 14번의 나눗셈을 수행하게 된다 | ||
| − | * | + | * <math>2.08\log 610+1.45=14.768\cdots</math> |
* 일반적으로 피보나치수열의 인접한 두 항에 대하여 호제법을 적용하면, 필요한 나눗셈의 회수가 커지게 된다 | * 일반적으로 피보나치수열의 인접한 두 항에 대하여 호제법을 적용하면, 필요한 나눗셈의 회수가 커지게 된다 | ||
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==베주 항등식== | ==베주 항등식== | ||
| − | * 두 정수 | + | * 두 정수 <math>a,b</math>의 최대공약수 <math>\gcd(a,b)</math>에 대하여, 적당한 <math>x,y\in \mathbb{Z}</math>가 존재하여, 다음을 만족한다 |
| − | + | :<math>ax+by=\gcd(a,b)</math> | |
2020년 11월 16일 (월) 04:17 판
유클리드 호제법
- 두 정수 \(a,b\)의 최대공약수를 구하는 알고리즘
- \(a\geq b >0\)라고 가정하자
- \(r_{-1}=a, r_0=b\)라 두고, 다음과 같은 나눗셈을 반복
\[ \begin{aligned} r_{-1}&=r_0q_0+r_1,\, 0<r_1<r_0 \\ r_{0}&=r_1q_1+r_2 ,\, 0<r_2<r_1 \\ \cdots \\ r_{n-1}&=r_{n}q_{n}+r_{n+1},\, 0<r_{n+1}<r_n \\ r_{n}&=r_{n+1}q_{n+1}\\ \end{aligned} \]
- 나눗셈을 반복하여 나머지가 0이 될 때, 얻어지는 \(r_{n+1}\)이 \(a,b\)의 최대공약수이다
- 이 때, \(k=n+2\)회의 나눗셈이 필요하며, \(a\geq F_{k+1}=F_{n+3}\)이 성립한다. 여기서 \(F_k\)는 피보나치 수열
\[F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\]
- 정리
두 자연수 \(a\geq b>0\)에 유클리드 호제법을 적용할 때 필요한 나눗셈의 회수 \(k\)에 대하여 다음이 성립한다 \[ k<2.08\log a+1.45 \]
예1
- 두 자연수 \(692,128\)에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다
\[ \begin{array}{c|c|c} k & r_k & r_{k+1} \\ \hline -1 & 692 & 128 \\ 0 & 128 & 52 \\ 1 & 52 & 24 \\ 2 & 24 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \\ \end{array} \]
- 따라서 최대공약수는 4가 된다
- \(2.08\log 692+1.45=15.03\cdots\)
예2
- 두 자연수 \(610,377\)에 대하여 호제법을 적용하면, 다음을 얻는다
\[ \begin{array}{c|c|c} k & r_k & r_{k+1} \\ \hline -1 & 610 & 377 \\ 0 & 377 & 233 \\ 1 & 233 & 144 \\ 2 & 144 & 89 \\ 3 & 89 & 55 \\ 4 & 55 & 34 \\ 5 & 34 & 21 \\ 6 & 21 & 13 \\ 7 & 13 & 8 \\ 8 & 8 & 5 \\ 9 & 5 & 3 \\ 10 & 3 & 2 \\ 11 & 2 & 1 \\ 12 & 1 & 0 \\ \end{array} \]
- 따라서 최대공약수는 1이고, 14번의 나눗셈을 수행하게 된다
- \(2.08\log 610+1.45=14.768\cdots\)
- 일반적으로 피보나치수열의 인접한 두 항에 대하여 호제법을 적용하면, 필요한 나눗셈의 회수가 커지게 된다
베주 항등식
- 두 정수 \(a,b\)의 최대공약수 \(\gcd(a,b)\)에 대하여, 적당한 \(x,y\in \mathbb{Z}\)가 존재하여, 다음을 만족한다
\[ax+by=\gcd(a,b)\]
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Backhouse, Roland, and João F. Ferreira. “On Euclid’s Algorithm and Elementary Number Theory.” Science of Computer Programming 76, no. 3 (March 2011): 160–80. doi:10.1016/j.scico.2010.05.006.