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* X : genus 가 g인 컴팩트 리만곡면
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* L : line bundle of degree d
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* <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : $L$의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
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* <math>H^{0}(L),H^{1}(L)</math> : <math>L</math>의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
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** $p>1$이면, $H^{p}(L)=0$
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** <math>p>1</math>이면, <math>H^{p}(L)=0</math>
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* <math>h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)</math>
 
* 리만-로흐 정리
 
* 리만-로흐 정리
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:<math>H^{0}(L)-H^{1}(L)=d-g+1</math>
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:<math>h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1</math>
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* 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다
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* 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다
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:<math>h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1</math>
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여기서 <math>K</math>는 <math>X</math>에 정의된 canonical bundle
  
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==line bundle==
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* divisor <math>D=p_1+\cdots+p_d</math>, <math>p_1,\cdot, p_d</math> distinct
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* <math>L_D</math> : line bundle
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* <math>H^0(L)</math> : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the <math>p_i</math>
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* <math>H^0(L^{-1}\otimes K)</math> : space of holomorphic 1-forms vanishing at the <math>p_i</math>
  
  
 
==메모==
 
==메모==
 
* 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g
 
* 코쉬-리만 연산자의 index = 1-g
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* https://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/RS/RiemannRoch2.pdf
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Hitchin, Nigel. 2010. “The Atiyah–Singer Index Theorem.” In The Abel Prize, edited by Helge Holden and Ragni Piene, 117–152. Springer Berlin Heidelberg. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-01373-7_7.
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* Raynor [https://www.math.leidenuniv.nl/scripties/Raynor.pdf The Riemann-Roch theorem is a special case of the Atiyah-Singer index formula]
 
* http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem
 
* http://mathoverflow.net/questions/7689/why-is-riemann-roch-an-index-problem
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==관련논문==
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* Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025.
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* Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982).
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[[분류:리만곡면론]]

2020년 11월 16일 (월) 04:17 기준 최신판

개요

  • \(X\) : 종수 (genus) 가 g인 컴팩트 리만곡면
  • \(L\) : line bundle of degree d
  • \(H^{0}(L),H^{1}(L)\) \[L\]의 holomorphic section으로 주어지는 sheaf에 대한 코호몰로지 군. 유한차원 복소벡터공간
    • \(p>1\)이면, \(H^{p}(L)=0\)
  • \(h^{p}(L)=\operatorname{dim}H^{p}(L)\)
  • 리만-로흐 정리

\[h^{0}(L)-h^{1}(L)=d-g+1\]

  • 좌변은 해석적, 우변은 위상적으로 정의되는 양으로, 지표 정리 (index theorem)의 예이다
  • 세르의 쌍대성을 이용하면, 다음과 같이 표현된다

\[h^{0}(L)-h^{0}(L^{-1}\otimes K)=d-g+1\] 여기서 \(K\)는 \(X\)에 정의된 canonical bundle

line bundle

  • divisor \(D=p_1+\cdots+p_d\), \(p_1,\cdot, p_d\) distinct
  • \(L_D\) : line bundle
  • \(H^0(L)\) : space of meromorphic functions with at worst simple poles at the \(p_i\)
  • \(H^0(L^{-1}\otimes K)\) : space of holomorphic 1-forms vanishing at the \(p_i\)


메모


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Mundy, Sam. ‘A New Proof of an Arithmetic Riemann-Roch Theorem’. arXiv:1410.8025 [math], 29 October 2014. http://arxiv.org/abs/1410.8025.
  • Simha, R. R. 1981. “The Riemann-Roch Theorem for Compact Riemann Surfaces.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série 27 (3-4): 185–196 (1982).
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