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* 바일군, 크기 8인 유한반사군 | * 바일군, 크기 8인 유한반사군 | ||
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* <math>B_2</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^2</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | * <math>B_2</math>의 루트 시스템을 <math>\mathbb{R}^2</math>안에서 다음과 같이 얻을 수 있다 | ||
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==유한차원 기약 표현의 분류== | ==유한차원 기약 표현의 분류== | ||
| − | * 유한차원 기약 표현 | + | * 유한차원 기약 표현 <math>V</math>에 대하여, 적당한 dominant weight <math>\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>가 존재하여, <math>V\cong L(\omega)</math>가 성립 |
* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | * [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]을 이용하면, 다음을 얻는다 | ||
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\dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{6} (a+1) (b+1) (a+b+2) (2 a+b+3) | \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{6} (a+1) (b+1) (a+b+2) (2 a+b+3) | ||
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==기약표현의 예== | ==기약표현의 예== | ||
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} | ||
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* [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | * [[바일 지표 공식 (Weyl character formula)]] 항목 참조 | ||
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| − | * 벡터 표현, highest weight은 | + | * 벡터 표현, highest weight은 <math>\omega_1</math> |
* 5차원 표현 | * 5차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{\omega_1}=\frac{x_2^2}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{x_1}{x_2^2}+1 | \chi_{\omega_1}=\frac{x_2^2}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{x_1}{x_2^2}+1 | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
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===예2=== | ===예2=== | ||
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* 4차원 표현 | * 4차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{\omega_2}=\frac{x_1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} | \chi_{\omega_2}=\frac{x_1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
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===예3=== | ===예3=== | ||
| − | * highest weight | + | * highest weight <math>2\omega_1</math> |
* 14차원 표현 | * 14차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{2\omega_1}=\frac{x_2^4}{x_1^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+x_1^2+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^4}+2 | \chi_{2\omega_1}=\frac{x_2^4}{x_1^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+x_1^2+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^4}+2 | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
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===예4=== | ===예4=== | ||
| − | * adjoint 표현, highest weight | + | * adjoint 표현, highest weight <math>2\omega_2</math> |
* 10차원 표현 | * 10차원 표현 | ||
* 지표 | * 지표 | ||
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\chi_{2\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+x_1+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+2 | \chi_{2\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+x_1+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+2 | ||
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* weight diagram | * weight diagram | ||
[[파일:리대수 so(5)의 유한차원 표현론5.png]] | [[파일:리대수 so(5)의 유한차원 표현론5.png]] | ||
==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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* [[리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론]] | * [[리대수 sl(3,C)의 유한차원 표현론]] | ||
| − | * [[리대수 | + | * [[리대수 so(6)의 유한차원 표현론]] |
2020년 11월 16일 (월) 04:20 기준 최신판
개요
- 복소수체 위의 10차원 리대수
- \(B_2\) 타입의 단순 리대수
리대수 \(\mathfrak{so}(5)\)
- \(B_2\) 카르탄 행렬
\[ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -2 & 2 \\ \end{array} \right) \]
- \(B_2\) 루트 시스템
\[\Phi= \left\{\alpha _1,\alpha _2,\alpha _1+2 \alpha _2,\alpha _1+\alpha _2,-\alpha _1,-\alpha _2,-\alpha _1-2 \alpha _2,-\alpha _1-\alpha _2\right\} \]
- 바일군, 크기 8인 유한반사군
\[ \{s[], s[1], s[2], s[1, 2], s[2, 1], s[1, 2, 1], s[2, 1, 2], s[1, 2, 1, 2]\} \]
- \(B_2\)의 루트 시스템을 \(\mathbb{R}^2\)안에서 다음과 같이 얻을 수 있다
- \(\alpha_1=(1,-1)\)
- \(\alpha_2=(0,1)\)
%EC%9D%98_%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A01.png)
- fundamental weights
- \(\omega_1=(1,0)\)
- \(\omega_2=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
- 바일 벡터 \(\rho=(3/2, 1/2)\)
유한차원 기약 표현의 분류
- 유한차원 기약 표현 \(V\)에 대하여, 적당한 dominant weight \(\omega=a\omega_1+b\omega_2, a,b\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)가 존재하여, \(V\cong L(\omega)\)가 성립
- 바일 차원 공식(Weyl dimension formula)을 이용하면, 다음을 얻는다
\[ \dim L(a\omega_1+b\omega_2)=\frac{1}{6} (a+1) (b+1) (a+b+2) (2 a+b+3) \]
기약표현의 예
- 표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표를 다음과 같이 정의
\[ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \]
- \(x_1=e^{\omega_1}, x_2=e^{\omega_2}\)로 두면, \(\chi_{\lambda}\)는 \(\mathbb{Z}[x_1^{\pm},x_2^{\pm}]\)의 원소가 된다
- 바일 지표 공식 (Weyl character formula) 항목 참조
예1
- 벡터 표현, highest weight은 \(\omega_1\)
- 5차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_1}=\frac{x_2^2}{x_1}+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{x_1}{x_2^2}+1 \]
- weight diagram
%EC%9D%98_%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A02.png)
예2
- 스핀 표현, highest weight은 \(\omega_2\)
- 4차원 표현
- 지표
\[ \chi_{\omega_2}=\frac{x_1}{x_2}+x_2+\frac{1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \]
- weight diagram
%EC%9D%98_%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A03.png)
예3
- highest weight \(2\omega_1\)
- 14차원 표현
- 지표
\[ \chi_{2\omega_1}=\frac{x_2^4}{x_1^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+x_1^2+x_1+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_1^2}{x_2^4}+2 \]
- weight diagram
%EC%9D%98_%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A04.png)
예4
- adjoint 표현, highest weight \(2\omega_2\)
- 10차원 표현
- 지표
\[ \chi_{2\omega_2}=\frac{x_1^2}{x_2^2}+\frac{x_1}{x_2^2}+x_1+\frac{x_2^2}{x_1^2}+x_2^2+\frac{1}{x_2^2}+\frac{x_2^2}{x_1}+\frac{1}{x_1}+2 \]
- weight diagram
%EC%9D%98_%EC%9C%A0%ED%95%9C%EC%B0%A8%EC%9B%90_%ED%91%9C%ED%98%84%EB%A1%A05.png)
관련된 항목들