다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2

개요

• 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.

다면체	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 외각 A	외각의 총합 V × A
정사면체	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times \pi = 4\pi\)
정육면체	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi\)
정팔면체	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\)
정십이면체	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi\)
정이십면체	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi\)

• 여기서 어느 정다면체나 \(V-E+F=2\) 가 됨을 확인할 수 있다.
• 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.

증명

• 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다.
• 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
• 그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.

• 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.

• 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
• 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
• 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.

재미있는 사실

• 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
  • http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=오일러정리

관련된 항목들

• 오일러의 공식 \(e^{i \pi} +1 = 0\)
• 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
• 가우스-보네 정리
• 종수(genus)와 오일러 표수

관련도서

• Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
  • David S. Richeson
  • 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 대수적위상수학

블로그

• 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
  • 피타고라스의 창