"다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2"의 두 판 사이의 차이
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* 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨. | * 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨. | ||
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| + | * 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다. | ||
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| + | * 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다. | ||
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| − | + | * 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견 | |
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| − | + | * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]] | |
| + | * [[가우스-보네 정리]] | ||
| + | * [[종수(genus)와 오일러 표수]] | ||
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| − | + | ==관련도서== | |
| − | * [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology] | + | * [http://www.amazon.com/Eulers-Gem-Polyhedron-Formula-Topology/dp/0691126771 Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology] |
** David S. Richeson | ** David S. Richeson | ||
** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ||
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* [[대수적위상수학]] | * [[대수적위상수학]] | ||
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| − | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리] | + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/01/09/510 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리] |
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| − | + | [[분류:중학수학]] | |
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2020년 12월 28일 (월) 02:10 기준 최신판
개요
- 정다면체의 점의 개수, 선의 개수, 면의 개수를 세서, (점의 개수) - (선의 개수)+ (면의 개수)의 값을 계산해 보면, 어떤 정다면체인가에 관계없이 2가 됨.
| 다면체 | 점 V | 선 E | 면 F | V-E+F | 한점에서의 외각 A | 외각의 총합 V × A |
| 정사면체 | 4 | 6 | 4 | 4-6+4=2 | \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{3}=\pi\) | \(4\times \pi = 4\pi\) |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | 8-12+6=2 | \(2\pi-3 \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\) | \(8\times \frac{\pi}{2} = 4\pi\) |
| 정팔면체 | 6 | 12 | 8 | 6-12+8=2 | \(2\pi-4 \times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\) | \(6\times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\) |
| 정십이면체 | 20 | 30 | 12 | 20-30+12=2 | \(2\pi-3 \times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\) | \(20\times \frac{\pi}{5} = 4\pi\) |
| 정이십면체 | 12 | 30 | 20 | 12-30+20=2 | \(2\pi-5 \times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\) | \(12\times \frac{\pi}{3} = 4\pi\) |
- 여기서 어느 정다면체나 \(V-E+F=2\) 가 됨을 확인할 수 있다.
- 이 사실은 정다면체뿐 아니라, 구면과 위상적으로 같은 성질을 갖는 다면체에 대해서도 적용됨.
증명
- 먼저 다면체를 구 위에 그려진 그래프로 이해하자. 즉, 꼭지점들을 구면에 배치하고 선분들을 구면위에 그어진 것으로 이해한다.
- 그 다음 구에서 평면으로 가는 사영을 생각해 보자.
- 그러면 평면상의 그래프를 하나 얻게 된다.
- 이제 평면상의 그래프를 통해 V,E,F를 세면 된다.
- 이 영상에서 서로 다른 방(면)들은 칸막이(선)에 의해 구분되어 있는데, 칸막이를 하나 없애면, 방의 개수가 하나 줄어들게 된다.
- 다시 말해서 V-E+F 의 값이 계속 보존된다.
- 이 작업을 반복해 칸막이를 모두 없애게 되면, 마지막에는 트리 형태의 도형이 남게 된다.
재미있는 사실
- 얼핏 보면 간단한 사실임에도, 이 사실은 정다면체에 많은 관심을 가졌던 고대그리스인들의 눈에 띄지 않았고, 오랜 시간이 지난후에야 오일러에 의하여 발견
관련된 단원
관련된 항목들
- 오일러의 공식 \(e^{i \pi} +1 = 0\)
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리
- 가우스-보네 정리
- 종수(genus)와 오일러 표수
관련도서
- Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
관련된 고교수학 또는 대학수학
블로그
- 다면체에 대한 데카르트-오일러 정리
- 피타고라스의 창