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==개요==
  
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* [[Ramanujan-Göllnitz-Gordon 연분수]]
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* '''[Duke2005] '''(9.1):<math>u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}</math>
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:<math>v(\tau)={q^{1/2} \over 1+q + } {q \over 1+q^2+} {q^2 \over 1+q^3}  \cdots=q^{1/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{(\frac{8}{n})}=q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}</math>
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*  셀베르그
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:<math>S_1(q)=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}=u(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(\tau)\eta^{2}(4\tau)}{\eta^{3}(2\tau)}</math>
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:<math>S_2(q)=q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(q;q^{2})_{\infty}}=q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}(q^2;q^{2})_{\infty}}{(q;q^{2})_{\infty}(q^2;q^{2})_{\infty}} =\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}</math> S1 , S2은 '''[Chan2009]''' 의 표기
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* [[q-series 의 공식 모음]]
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==메모==
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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==관련된 항목들==
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==관련논문==
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* [http://dx.doi.org/0.1090/S0002-9939-09-09835-9 From a Ramanujan-Selberg continued fraction to a Jacobian identity]
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**  Hei-Chi ChanJournal: Proc. Amer. Math. Soc. 137 (2009), 2849-2856.
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* [http://dx.doi.org/10.1155/IJMMS/2006/54901 Modular relations and explicit values of Ramanujan-Selberg continued fractions]
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**  Nayandeep Deka Baruah and Nipen Saikia, 2006
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* [http://www.ams.org/proc/2002-130-01/S0002-9939-01-06183-4/home.html Explicit evaluations of a Ramanujan-Selberg continued fraction]
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**  Liang-Cheng Zhang, 2002
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[[분류:q-급수]]
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[[분류:연분수]]

2020년 12월 28일 (월) 02:16 기준 최신판

개요

  • Ramanujan-Göllnitz-Gordon 연분수
  • [Duke2005] (9.1)\[u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}\]

\[v(\tau)={q^{1/2} \over 1+q + } {q \over 1+q^2+} {q^2 \over 1+q^3} \cdots=q^{1/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{(\frac{8}{n})}=q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}\]


  • 셀베르그

\[S_1(q)=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}=u(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(\tau)\eta^{2}(4\tau)}{\eta^{3}(2\tau)}\] \[S_2(q)=q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(q;q^{2})_{\infty}}=q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}(q^2;q^{2})_{\infty}}{(q;q^{2})_{\infty}(q^2;q^{2})_{\infty}} =\frac{\eta(4\tau)}{\eta(\tau)}\] S1 , S2은 [Chan2009] 의 표기




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