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* 선형방정식과 비선형방정식 | * 선형방정식과 비선형방정식 | ||
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==이계미분방정식의 일계미분방정식으로의 변형== | ==이계미분방정식의 일계미분방정식으로의 변형== | ||
| − | * <math>y'' = f(x, y')</math> 형태의 미분방정식 | + | * <math>y'' = f(x, y')</math> 형태의 미분방정식 |
| − | * <math>y'' = g(y, y')</math> 형태의 미분방정식 | + | ** <math>v=y'</math> 으로 치환하여 <math>v' = f(x, v)</math> 를 얻는다 |
| + | * <math>y'' = g(y, y')</math> 형태의 미분방정식 | ||
| + | ** <math>v=y'</math> 으로 치환 | ||
| + | :<math>y'' = \frac{dv}{dx}= \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dy}v</math> | ||
| + | :<math>\frac{dv}{dy}v = g(y,v)</math> 를 얻는다 | ||
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==예== | ==예== | ||
| + | * 이계미분방정식 <math>2y''=3y^2</math> | ||
| + | * <math>v=y'</math> 으로 치환하면 다음을 얻는다 | ||
| + | :<math>2\frac{dv}{dy}v = 3y^2</math> | ||
| + | :<math>v^2=y^3+C</math> | ||
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* [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-034Spring-2007/Readings/notesqd.pdf QD. SOLUTION BY QUADRATURE] | * [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-034Spring-2007/Readings/notesqd.pdf QD. SOLUTION BY QUADRATURE] | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
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2020년 12월 28일 (월) 03:50 기준 최신판
개요
- 선형방정식과 비선형방정식
이계미분방정식의 일계미분방정식으로의 변형
- \(y'' = f(x, y')\) 형태의 미분방정식
- \(v=y'\) 으로 치환하여 \(v' = f(x, v)\) 를 얻는다
- \(y'' = g(y, y')\) 형태의 미분방정식
- \(v=y'\) 으로 치환
\[y'' = \frac{dv}{dx}= \frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{dy}v\] \[\frac{dv}{dy}v = g(y,v)\] 를 얻는다
예
- 이계미분방정식 \(2y''=3y^2\)
- \(v=y'\) 으로 치환하면 다음을 얻는다
\[2\frac{dv}{dy}v = 3y^2\] \[v^2=y^3+C\] \[(\frac{dy}{dx})^2=y^3+C\]
메모