"이차형식 x^2+5y^2"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 03:51 기준 최신판

개요

\(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\)
판별식 d=-20
class number h=2
- 기약형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\)
타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)\[ j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3\]\[j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3\]
힐버트 class field \(K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})\)

\(x^2+5y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수

29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389

\(x^2+2 x y+3 y^2\)로 표현되는 400까지의 소수

2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수

3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383

\(x^2-5 \pmod p\) 의 분해

20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 \(x^2-5 \pmod p\)의 분해
나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"

3=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389

역사

수학사 연표

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+==개요==
+* <math>K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>
+* 판별식 d=-20
+*  class number h=2
+** 기약형식 <math>{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}</math>
+* [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]:<math> j(\sqrt{-5})=632000+282880 \sqrt{5}=(50+26\sqrt{5})^3</math>:<math>j(\frac {-1+\sqrt{-5}}{2})=632000-282880 \sqrt{5}=(50-26\sqrt{5})^3</math>
+* 힐버트 class field <math>K(\sqrt{5})=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{5})</math>
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
-* d=-20 ,h=2,{x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}
+==<math>x^2+5y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
+*  5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;"><math>x^2+5y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수</h5>
-*  5, 29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389<br>
+==20으로 나눈 나머지가 1이나 9인 400까지의 소수==
+*  29, 41, 61, 89, 101, 109, 149, 181, 229, 241, 269, 281, 349, 389
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">20으로 나눈 나머지가 1이나 7인 400까지의 소수</h5>
-*   <br>
+==<math>x^2+2 x y+3 y^2</math>로 표현되는 400까지의 소수==
+*  2, 3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
-<h5><math>x^2-5 \pmod p</math> d</h5>
-\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]1+x^2 mod 3<br><br> 7\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]2+x^2 mod 7<br><br> 11\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](4+x) (7+x) mod 11<br><br> 13\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]8+x^2 mod 13<br><br> 17\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]12+x^2 mod 17<br><br> 19\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](9+x) (10+x) mod 19<br><br> 23\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]18+x^2 mod 23<br><br> 29\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](11+x) (18+x) mod 29<br><br> 31\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](6+x) (25+x) mod 31<br><br> 37\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]32+x^2 mod 37<br><br> 41\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](13+x) (28+x) mod 41<br><br> 43\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]38+x^2 mod 43<br><br> 47\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]42+x^2 mod 47<br><br> 53\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]48+x^2 mod 53<br><br> 59\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](8+x) (51+x) mod 59<br><br> 61\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](26+x) (35+x) mod 61<br><br> 67\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]62+x^2 mod 67<br><br> 71\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](17+x) (54+x) mod 71<br><br> 73\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]68+x^2 mod 73<br><br> 79\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](20+x) (59+x) mod 79<br><br> 83\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]78+x^2 mod 83<br><br> 89\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](19+x) (70+x) mod 89<br><br> 97\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]92+x^2 mod 97<br><br> 101\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](45+x) (56+x) mod 101<br><br> 103\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]98+x^2 mod 103<br><br> 107\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]102+x^2 mod 107<br><br> 109\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](21+x) (88+x) mod 109<br><br> 113\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]108+x^2 mod 113<br><br> 127\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]122+x^2 mod 127<br><br> 131\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](23+x) (108+x) mod 131<br><br> 137\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]132+x^2 mod 137<br><br> 139\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](12+x) (127+x) mod 139<br><br> 149\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](68+x) (81+x) mod 149<br><br> 151\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](55+x) (96+x) mod 151<br><br> 157\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]152+x^2 mod 157<br><br> 163\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]158+x^2 mod 163<br><br> 167\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]162+x^2 mod 167<br><br> 173\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]168+x^2 mod 173<br><br> 179\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](30+x) (149+x) mod 179<br><br> 181\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](27+x) (154+x) mod 181<br><br> 191\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](14+x) (177+x) mod 191<br><br> 193\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]188+x^2 mod 193<br><br> 197\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]192+x^2 mod 197<br><br> 199\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](76+x) (123+x) mod 199<br><br> 211\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](65+x) (146+x) mod 211<br><br> 223\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]218+x^2 mod 223<br><br> 227\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]222+x^2 mod 227<br><br> 229\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](66+x) (163+x) mod 229<br><br> 233\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]228+x^2 mod 233<br><br> 239\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](31+x) (208+x) mod 239<br><br> 241\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](103+x) (138+x) mod 241<br><br> 251\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](16+x) (235+x) mod 251<br><br> 257\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]252+x^2 mod 257<br><br> 263\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]258+x^2 mod 263<br><br> 269\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](126+x) (143+x) mod 269<br><br> 271\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](33+x) (238+x) mod 271<br><br> 277\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]272+x^2 mod 277<br><br> 281\[Congruent]1 mod 20, x^2-5\[Congruent](75+x) (206+x) mod 281<br><br> 283\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]278+x^2 mod 283<br><br> 293\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]288+x^2 mod 293<br><br> 307\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]302+x^2 mod 307<br><br> 311\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](117+x) (194+x) mod 311<br><br> 313\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]308+x^2 mod 313<br><br> 317\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]312+x^2 mod 317<br><br> 331\[Congruent]11 mod 20, x^2-5\[Congruent](98+x) (233+x) mod 331<br><br> 337\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]332+x^2 mod 337<br><br> 347\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]342+x^2 mod 347<br><br> 349\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](62+x) (287+x) mod 349<br><br> 353\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]348+x^2 mod 353<br><br> 359\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](148+x) (211+x) mod 359<br><br> 367\[Congruent]7 mod 20, x^2-5\[Congruent]362+x^2 mod 367<br><br> 373\[Congruent]13 mod 20, x^2-5\[Congruent]368+x^2 mod 373<br><br> 379\[Congruent]19 mod 20, x^2-5\[Congruent](39+x) (340+x) mod 379<br><br> 383\[Congruent]3 mod 20, x^2-5\[Congruent]378+x^2 mod 383<br><br> 389\[Congruent]9 mod 20, x^2-5\[Congruent](86+x) (303+x) mod 389<br><br> 397\[Congruent]17 mod 20, x^2-5\[Congruent]392+x^2 mod 397
+==20으로 나눈 나머지가 3이나 7인 400까지의 소수==
+*  3, 7, 23, 43, 47, 67, 83, 103, 107, 127, 163, 167, 223, 227, 263, 283, 307, 347, 367, 383
-<h5>재미있는 사실</h5>
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
+==<math>x^2-5 \pmod p</math> 의 분해==
+* 20으로 나눈 나머지가 1,3,7,9인 소수 p에 대한 <math>x^2-5 \pmod p</math>의 분해
+* 나머지가 1 또는 9인 경우에만 일차식으로 분해됨을 볼 수 있음
+* class field theory에 의해 예측할 수 있는 사실
+* 다음 목록은 "소수p, p를 20으로 나눈 나머지, 다항식 x^2-5의 mod p분해"
-<h5>역사</h5>
+=3 mod 20, x^2-5=1+x^2 mod 3 7=7 mod 20, x^2-5=2+x^2 mod 7 23=3 mod 20, x^2-5=18+x^2 mod 23 29=9 mod 20, x^2-5=(11+x)(18+x) mod 29 41=1 mod 20, x^2-5=(13+x)(28+x) mod 41 43=3 mod 20, x^2-5=38+x^2 mod 43 47=7 mod 20, x^2-5=42+x^2 mod 47 61=1 mod 20, x^2-5=(26+x)(35+x) mod 61 67=7 mod 20, x^2-5=62+x^2 mod 67 83=3 mod 20, x^2-5=78+x^2 mod 83 89=9 mod 20, x^2-5=(19+x)(70+x) mod 89 101=1 mod 20, x^2-5=(45+x)(56+x) mod 101 103=3 mod 20, x^2-5=98+x^2 mod 103 107=7 mod 20, x^2-5=102+x^2 mod 107 109=9 mod 20, x^2-5=(21+x)(88+x) mod 109 127=7 mod 20, x^2-5=122+x^2 mod 127 149=9 mod 20, x^2-5=(68+x)(81+x) mod 149 163=3 mod 20, x^2-5=158+x^2 mod 163 167=7 mod 20, x^2-5=162+x^2 mod 167 181=1 mod 20, x^2-5=(27+x)(154+x) mod 181 223=3 mod 20, x^2-5=218+x^2 mod 223 227=7 mod 20, x^2-5=222+x^2 mod 227 229=9 mod 20, x^2-5=(66+x)(163+x) mod 229 241=1 mod 20, x^2-5=(103+x)(138+x) mod 241 263=3 mod 20, x^2-5=258+x^2 mod 263 269=9 mod 20, x^2-5=(126+x)(143+x) mod 269 281=1 mod 20, x^2-5=(75+x)(206+x) mod 281 283=3 mod 20, x^2-5=278+x^2 mod 283 307=7 mod 20, x^2-5=302+x^2 mod 307 347=7 mod 20, x^2-5=342+x^2 mod 347 349=9 mod 20, x^2-5=(62+x)(287+x) mod 349 367=7 mod 20, x^2-5=362+x^2 mod 367 383=3 mod 20, x^2-5=378+x^2 mod 383 389=9 mod 20, x^2-5=(86+x)(303+x) mod 389
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+==역사==
-<h5>메모</h5>
+* [[수학사 연표]]
-<h5>관련된 항목들</h5>
+==메모==
-<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+==관련된 항목들==
+* [[정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)]]
-* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxVEpGdUlBcFBITFU/edit
+* http://oeis.org/A033205
-<h5>사전 형태의 자료</h5>
+[[분류:에세이]]
-* http://ko.wikipedia.org/wiki/
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
-** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
-<h5>관련논문</h5>
-* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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