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* [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함. | * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]]는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함. | ||
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| − | 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음, | + | ===축구공의 꼭지점의 개수를 세는 법=== |
| + | * 모든 꼭지점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인. | ||
| + | * 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음, | ||
| + | * 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도 | ||
| + | * 따라서 축구공 한 점에서의 결손각 크기 = 360도 -(108도+120도+120도) = 12도,이는 <math>\pi/15</math> 라디안에 해당한다 | ||
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| + | * 김홍종, [http://mathlove.org/doc/why/0010.html 축구공의 기하학], 제9회 서울대학교 자연과학대학 공개강좌 (2002년 2월 27일) 원고 | ||
| + | * http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=201006170191 | ||
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| − | * | + | * [[볼록다면체에 대한 데카르트 정리]] |
| − | * | + | * [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]] |
| − | * | + | * [[정다면체]] |
| − | ** | + | ** 정이십면체 |
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| − | + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS1NFdm9iOS03Ums/edit | |
| − | * | + | * https://groups.google.com/forum/#!topic/comp.soft-sys.math.mathematica/3R4E8u546G8 |
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| + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%B6%95%EA%B5%AC%EA%B3%B5 http://ko.wikipedia.org/wiki/축구공] | ||
| + | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B9%8E%EC%9D%80_%EC%A0%95%EC%9D%B4%EC%8B%AD%EB%A9%B4%EC%B2%B4 http://ko.wikipedia.org/wiki/깎은_정이십면체] | ||
| − | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== | |
| + | * Manuel Friedrich, Paolo Piovano, Ulisse Stefanelli, The geometry of C_60: a rigorous approach via Molecular Mechanics, arXiv:1604.02077[cond-mat.mtrl-sci], April 07 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02077v1 | ||
| + | * Kostant, Bertram. 1995. “The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois.” Notices of the American Mathematical Society 42 (9): 959–968. http://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf | ||
| + | * Chung, Fan, and Shlomo Sternberg. 1993. “Mathematics and the Buckyball.” American Scientist 81 (1) (January 1): 56–71. http://www.math.ucsd.edu/~fan/amer.pdf | ||
| − | == | + | ==관련논문== |
| + | * Kostant, B. 1995. “Structure of the Truncated Icosahedron (e.g.\ Fullerene or <math>\rm C_60</math>, Viral Coatings) and a <math>60</math>-Element Conjugacy Class in <math>\rm PSL(2,11)</math>.” Selecta Mathematica. New Series 1 (1): 163–195. doi:10.1007/BF01614076. | ||
| + | * Kostant, Bertram. 1994. “Structure of the Truncated Icosahedron (such as Fullerene or Viral Coatings) and a <math>60</math>-Element Conjugacy Class in <math>\rm PSl(2,11)</math>.” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 91 (24): 11714–11717. doi:10.1073/pnas.91.24.11714. | ||
| + | * Chung, Fan R. K., Bertram Kostant, and Shlomo Sternberg. 1994. “Groups and the Buckyball.” In Lie Theory and Geometry, 123:97–126. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1327532. | ||
| + | * James, Gordon. 1994. “The Representation Theory for Buckminsterfullerene.” Journal of Algebra 167 (3): 803–820. doi:10.1006/jabr.1994.1213. | ||
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==관련기사== | ==관련기사== | ||
| − | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | + | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) |
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%98%ED%95%99%EC%B6%95%EA%B5%AC%EA%B3%B5 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=수학축구공] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%88%98%ED%95%99%EC%B6%95%EA%B5%AC%EA%B3%B5 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=수학축구공] | ||
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| + | [[분류:교양수학]] | ||
2020년 12월 28일 (월) 02:59 기준 최신판
개요
- 축구공에는 재미있는 수학적 사실들이 담겨있음.
- 깎은 정이십면체 (truncated icosahedron)
- 정오각형 12개, 정육각형 20개로 구성
- 60개의 꼭지점
- 90개의 모서리
데카르트 정리의 응용
- 볼록다면체에 대한 데카르트 정리는 위상적인 성질을 반영하는 것이기 때문에, 사실은 꼭 정다면체뿐만이 아니라, 축구공과 같은 일반적인 (볼록)다면체에서도 성립함.
- 볼록다면체의 각 꼭지점에서의 결손각을 모두 더하면 \(4\pi\)가 된다
축구공의 꼭지점의 개수를 세는 법
- 모든 꼭지점이 똑같이 생겼다는 사실을 확인.
- 한 점에는 정오각형 하나, 정육각형 두개가 만나고 있다는 사실을 재빠르게 간파한 다음,
- 정오각형 한점 내각 = 108도, 정육각형 한점 내각 = 120도
- 따라서 축구공 한 점에서의 결손각 크기 = 360도 -(108도+120도+120도) = 12도,이는 \(\pi/15\) 라디안에 해당한다
- 데카르트 정리를 이용하면 꼭지점의 개수는 다음과 같다
\[ 4\pi/(\pi/15) = 60 \]
- 그러므로 축구공에는 꼭지점이 60개 있음.
메모
- 김홍종, 축구공의 기하학, 제9회 서울대학교 자연과학대학 공개강좌 (2002년 2월 27일) 원고
- http://www.etnews.co.kr/news/detail.html?id=201006170191
역사
관련된 항목들
관련된 고교수학 또는 대학수학
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS1NFdm9iOS03Ums/edit
- https://groups.google.com/forum/#!topic/comp.soft-sys.math.mathematica/3R4E8u546G8
사전형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- Manuel Friedrich, Paolo Piovano, Ulisse Stefanelli, The geometry of C_60: a rigorous approach via Molecular Mechanics, arXiv:1604.02077[cond-mat.mtrl-sci], April 07 2016, http://arxiv.org/abs/1604.02077v1
- Kostant, Bertram. 1995. “The Graph of the Truncated Icosahedron and the Last Letter of Galois.” Notices of the American Mathematical Society 42 (9): 959–968. http://www.ams.org/notices/199509/kostant.pdf
- Chung, Fan, and Shlomo Sternberg. 1993. “Mathematics and the Buckyball.” American Scientist 81 (1) (January 1): 56–71. http://www.math.ucsd.edu/~fan/amer.pdf
관련논문
- Kostant, B. 1995. “Structure of the Truncated Icosahedron (e.g.\ Fullerene or \(\rm C_60\), Viral Coatings) and a \(60\)-Element Conjugacy Class in \(\rm PSL(2,11)\).” Selecta Mathematica. New Series 1 (1): 163–195. doi:10.1007/BF01614076.
- Kostant, Bertram. 1994. “Structure of the Truncated Icosahedron (such as Fullerene or Viral Coatings) and a \(60\)-Element Conjugacy Class in \(\rm PSl(2,11)\).” Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 91 (24): 11714–11717. doi:10.1073/pnas.91.24.11714.
- Chung, Fan R. K., Bertram Kostant, and Shlomo Sternberg. 1994. “Groups and the Buckyball.” In Lie Theory and Geometry, 123:97–126. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1327532.
- James, Gordon. 1994. “The Representation Theory for Buckminsterfullerene.” Journal of Algebra 167 (3): 803–820. doi:10.1006/jabr.1994.1213.