"평행이동과 홀로노미"의 두 판 사이의 차이
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\frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ | \frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ | ||
\frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) | \frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) | ||
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* 크리스토펠 기호는 다음과 같다 | * 크리스토펠 기호는 다음과 같다 | ||
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| − | * 곡선 | + | * 곡선 <math>\gamma</math>가 위선(latitude)즉, <math>\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)</math>로 주어지는 경우를 생각하자 |
| − | * 벡터장 | + | * 벡터장 <math>Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}</math>이 <math>\gamma</math>를 따라 평행일 조건은, [[공변미분(covariant derivative)]]이 0, 즉 |
:<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math> | :<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math> | ||
로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 | 로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 | ||
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Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ | Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ | ||
Y_2'(t)+Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)&=&0 | Y_2'(t)+Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)&=&0 | ||
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| − | * holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature | + | * holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature |
| − | * [http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html] | + | * [http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html] |
| − | * http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html | + | * http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html |
* http://www.ias.ac.in/resonance/August2008/p706-715.pdf | * http://www.ias.ac.in/resonance/August2008/p706-715.pdf | ||
| + | * 리만 다양체의 홀로노미군 http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=345796 | ||
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==수학용어번역== | ==수학용어번역== | ||
2020년 12월 28일 (월) 03:07 기준 최신판
개요
예
- 구면이 \(\{R \cos (u) \cos (v),R \sin (u) \cos (v),R \sin (v)\}\) 로 매개화되었다고 하자
- \(x^1=u, x^2=v\)로 두면,
\[ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ \frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) \end{array} \]
- 크리스토펠 기호는 다음과 같다
\[ \begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & 0 \\ \Gamma _{12}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{21}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{22}^1 & 0 \\ \Gamma _{11}^2 & \sin (v) \cos (v) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & 0 \end{array} \]
- 곡선 \(\gamma\)가 위선(latitude)즉, \(\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)\)로 주어지는 경우를 생각하자
- 벡터장 \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)이 \(\gamma\)를 따라 평행일 조건은, 공변미분(covariant derivative)이 0, 즉
\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\] 로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 \[ \begin{array}{l} Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ Y_2'(t)+Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)&=&0 \end{array} \]
메모
- holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature
- http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html
- http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html
- http://www.ias.ac.in/resonance/August2008/p706-715.pdf
- 리만 다양체의 홀로노미군 http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=345796
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
수학용어번역
- holonomy - 대한수학회 수학용어집
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Oprea, John. 1995. “Geometry and the Foucault Pendulum.” The American Mathematical Monthly 102 (6) (June 1): 515–522. doi:10.2307/2974765.