평행이동과 홀로노미

예

• 구면이 \(\{R \cos (u) \cos (v),R \sin (u) \cos (v),R \sin (v)\}\) 로 매개화되었다고 하자
• \(x^1=u, x^2=v\)로 두면,

\[ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ \frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) \end{array} \]

• 크리스토펠 기호는 다음과 같다

\[ \begin{array}{ll} \Gamma _{11}^1 & 0 \\ \Gamma _{12}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{21}^1 & -\tan (v) \\ \Gamma _{22}^1 & 0 \\ \Gamma _{11}^2 & \sin (v) \cos (v) \\ \Gamma _{12}^2 & 0 \\ \Gamma _{21}^2 & 0 \\ \Gamma _{22}^2 & 0 \end{array} \]

• 곡선 \(\gamma\)가 위선(latitude)즉, \(\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)\)로 주어지는 경우를 생각하자
• 벡터장 \(Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}\)이 \(\gamma\)를 따라 평행일 조건은, 공변미분(covariant derivative)이 0, 즉

\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\] 로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 \[ \begin{array}{l} Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ Y_2'(t)+Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)&=&0 \end{array} \]

메모

• holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature

• http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html
• http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html
• http://www.ias.ac.in/resonance/August2008/p706-715.pdf
• 리만 다양체의 홀로노미군 http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_content.php?no=345796

관련된 항목들

• 가우스-보네 정리

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxdlpuYS1xbnV3V2s/edit

수학용어번역

• holonomy - 대한수학회 수학용어집

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Oprea, John. 1995. “Geometry and the Foucault Pendulum.” The American Mathematical Monthly 102 (6) (June 1): 515–522. doi:10.2307/2974765.