"피보나치 수열"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 03:10 기준 최신판

개요

수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
앞에 있는 두 수를 더하여, 다음의 수를 얻는다
점화식을 이용한 정의

\[F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \\ F_0=1,F_1=1\]

상수계수 선형점화식의 예이다
루카스 수열의 예이다
인접한 두 수열의 비는 황금비로 수렴

\[\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\]

피보나치 수열의 일반항

생성함수를 이용하여 얻을 수 있다

정리

피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다 \[s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\label{s}\]

증명

점화식을 이용하여 다음을 얻는다 \[\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\]

따름정리

피보나치수열의 일반항은 다음과 같다 \[ F_n= \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}} \]

\ref{s}의 우변을 부분분수로 분해하여 쓰면 된다.

여러가지 성질들

\(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n-1}\)
위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.

\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\varphi-1\] \[\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n-1}}{F_n^2})=\varphi\]

\(\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}\)에 대해서는 피보나치 수열의 나눗셈 성질 항목 참조
피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다
- 피보나치 수열과 합동식 항목 참조

황금비와 피보나치 수열

자연과 피보나치 수열

[1]

피보나치 귀걸이

메모

http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html
Phyllotaxis
Kotesovec, Vaclav. “Asymptotics of the Euler Transform of Fibonacci Numbers.” arXiv:1508.01796 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01796.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYTBlNHdVdFdDZEk/edit

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 ==개요==
+* 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
+* 앞에 있는 두 수를 더하여, 다음의 수를 얻는다
 * 점화식을 이용한 정의
-** <math>F_0=1,F_1=1</math>
+:<math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}, \\
-** <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}</math>
+F_0=1,F_1=1</math>
+* [[상수계수 선형점화식]]의 예이다
+* [[루카스 수열]]의 예이다
 * 인접한 두 수열의 비는 [[황금비]]로 수렴
-:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
+:<math>\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
-* [[루카스 수열]]의 예이다
 ==피보나치 수열의 일반항==
+* [[생성함수]]를 이용하여 얻을 수 있다
-* [[생성함수]]를 이용한 방법
 ;정리
 피보나치 수열의 생성함수는 다음과 같이 주어진다
-:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}</math>
+:<math>s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=\frac{1}{1-x-x^2}\label{s}</math>
 ;증명
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 :<math>\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= 1+ x + x(\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k-1) + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= 1+ x s(x) + x^2 s(x) \end{align}</math>
-이제 $s(x)$를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.
+;따름정리
+피보나치수열의 일반항은 다음과 같다
 :<math>
-F(n) = \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}
+F_n= \frac{\left(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}-\left(\frac{1}{2} \left(1-\sqrt{5}\right)\right)^{n+1}}{\sqrt{5}}
 </math>
+\ref{s}의 우변을 부분분수로 분해하여 쓰면 된다.
 ==여러가지 성질들==
-* <math>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}</math>
+* <math>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n-1}</math>
 * 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
-:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math>:<math>\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi</math>
+:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\varphi-1</math>
+:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n-1}}{F_n^2})=\varphi</math>
 * <math>\gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)}</math>에 대해서는 [[피보나치 수열의 나눗셈 성질]] 항목 참조
 * 피보나치 수열을 자연수 n으로 나눈 나머지로 정의된 수열은 주기성을 가진다
 ** [[피보나치 수열과 합동식]] 항목 참조
 ==황금비와 피보나치 수열==
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 [[파일:2252978-goldenrectangle.jpg]]
 ==자연과 피보나치 수열==
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 [[파일:2252978-fb_r003b.jpg]]
+* [http://www.boutiqueacademia.com/products/Fibonacci-Earrings.html 피보나치 귀걸이]
 ==메모==
 * [[파일:2252978-전체화면 캡처 2009-03-01 오후 123738.jpg]]
 * [http://www.math.temple.edu/%7Erenault/fibonacci/fib.html http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html]
+* [[Phyllotaxis]]
+* Kotesovec, Vaclav. “Asymptotics of the Euler Transform of Fibonacci Numbers.” arXiv:1508.01796 [math], August 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01796.
 ==관련된 항목들==