가까운 거리 상호작용이 있는 응집 전이 풀이

이제 구체적으로 문제를 풀어봅시다. 얘기했듯이 다음과 같은 경우만 다룹니다. (또한 퓨개서티 z의 임계점, 즉 수렴반지름 z_c는 1로 놓습니다. T만 보면 g에 적당한 상수를 곱해줌으로써 z_c = 1로 만들 수 있습니다.)

\(g(m,n)=K(|m-n|)\sqrt{p(m)p(n)}\)

그리고 K와 p는 아래와 같습니다.

\(K(x)=e^{-Jx},\ p(m)=e^{U\delta_{m,0}}\)

그럼 정상상태는 아래와 같습니다.

\(P(m_1,\cdots,m_N)=\exp\left(-J\sum_i|m_i-m_{i+1}|+U\sum_i\delta_{m_i,0}\right)\)

입자의 개수가 보존되는 경우에는 관련된 조건이 덧붙여져야 합니다. 모양이 꼭 해밀토니안을 이용한 볼츠만 성분(Boltzmann factor) 모양이죠. T_mn = g(m,n)이므로 앞 글에서 T의 고유벡터를 구하는 문제를 g를 이용하여 다시 씁니다.

\(\sum_n \exp\left[-J|m-n|+\tfrac{U}{2}(\delta_{m,0}+\delta_{n,0})\right]\phi_n=\lambda_{\rm max}\phi_m\)

이걸 어떻게 풀어야 하나 싶은데요, 고유벡터가 다음과 같다고 가정하면 쉬워집니다.

\(\phi_m\propto e^{A\delta_{m,0}+Bm}\)

문제를 많이 풀다보면 고유벡터가 이렇게 생겼겠거니 머리 속에 떠오르는 건지, 아니면 원래 다 아는 건지 궁금하네요. 여튼 이 가정을 위 식에 집어 넣어서 지지고 볶으면,

\(A=\frac{U}{2},\ B=-J-\ln(1-e^{-U})\)

를 얻습니다. B의 두번째 항을 -J₀으로 정의하면요,

\(J_0=U-\ln(e^U-1)\)

으로 쓸 수 있습니다. 이제 J가 J₀보다 작으면 B가 양수라는 말이고, 고유벡터이 성분인 φ_m은 m에 대해 지수함수적으로 증가합니다. 당연히 한 자리에 입자 m개가 있을 확률이 m에 따라 커지니 임계 밀도도 발산하겠죠. 다시 말해서 응집은 일어나지 않습니다. J가 J₀보다 클 때에만 응집 전이가 나타납니다. 이때 응집 전이의 임계 밀도는 다음처럼 구합니다. 최대 고유값도 얻을 수 있습니다.

\(\rho_c=\frac{\sum_mm\phi_m^2}{\sum_m\phi_m^2}=\frac{e^{J_0}-1}{(e^{J_0}-e^{-2(J-J_0)})(e^{2(J-J_0)}-1)}\)

\(\lambda_{\rm max}=e^U+\frac{1}{e^{2J}(1-e^{-U})-1}\)

응집 전이가 일어나는 임계 밀도와 최대 고유값은 구했지만 아직 응집이 어떤 모양인지, 임계점에서 임계행동은 어떻게 나타날지는 얘기하지 않았습니다. 영거리 과정에서는 단 하나의 자리에 잉여 입자들이 모두 모여 있는데 반해서, 여기서는 이웃한 자리 사이의 상호작용에 의해 응집한 입자들이 공간적으로 퍼져 있게 됩니다. 그럼 그 잉여 입자들이 몇 개의 자리를 차지할 거냐(즉 응집의 폭), 각 자리에 얼마나 많은 입자들이 놓일 거냐(즉 응집의 높이)와 같이 응집의 모양에 대한 얘기를 해볼 수 있습니다. 폭과 높이라는 말들을 논문에서 보면서 모래더미 모형의 사태 폭과 사태 높이가 떠올랐습니다. 여튼 이건 다음에 다루어보겠습니다.