"타원함수론 입문"의 두 판 사이의 차이
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무리함수적분 사인함수 원의 발견 | 무리함수적분 사인함수 원의 발견 | ||
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| − | <math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> | + | <math>\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}</math> 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다. |
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| − | <math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> | + | <math>\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz</math> 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가? |
| − | + | P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다. | |
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이 함수의 공역은 무엇인가? | 이 함수의 공역은 무엇인가? | ||
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<math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx</math> | <math>\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx</math> | ||
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<math>\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y</math> | <math>\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y</math> | ||
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| − | 이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. | + | 이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다. |
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타원적분 타원함수 토러스의 발견 | 타원적분 타원함수 토러스의 발견 | ||
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| − | + | 복소함수와 브랜치컷 | |
| − | 하나의 브랜치가 고정되었다고 하자. | + | 하나의 브랜치가 고정되었다고 하자. |
<math>w=f(z)</math> | <math>w=f(z)</math> | ||
| − | <math>(z,w)</math> | + | <math>(z,w)</math> 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다. |
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2020년 12월 28일 (월) 04:21 기준 최신판
이 공부에는 유비(analogy)적인 생각이 매우 유용하다.
무리함수적분 사인함수 원의 발견
\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\)
이 함수를 제대로 이해하려면, 적어도 세 가지를 이해해야 한다.
첫번째
\(\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\) 는 어떤 공간에 정의된 함수인가? 이것은 2 sheeted 리만 곡면에 정의된 함수이다.
두번째
\(\int_0^P{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}dz\) 는 그럼 또 어떤 공간에 정의된 함수인가?
P 역시 2 sheeted 리만 곡면에서 정의되어 있다. 다만 이 값은 경로에 의존할 것이다.
한가지 달라지는 것은 P는 무한대 점이 될 수 없다는 것이다.
세번째
이 함수의 공역은 무엇인가?
\(\int_0^x{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx+\int_0^y{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx=\int_0^{x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx\)
\(\arcsin x+\arcsin y=\arcsin(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2})\)
\(\sin\left(x+y\right)=\sin x\cos y +\cos x \sin y\)
이렇게 정의역과 공역을 명확하게 하려는 노력에서 일차적으로 리만곡면이 발견되었고, 아벨-자코비의 이론이 싹트게 된다.
타원적분 타원함수 토러스의 발견
복소함수와 브랜치컷
하나의 브랜치가 고정되었다고 하자.
\(w=f(z)\)
\((z,w)\) 는 리만곡면의 하나의 점을 나타내는 방식이다.