"슈르 다항식(Schur polynomial)"의 두 판 사이의 차이

2020년 12월 28일 (월) 06:30 판

개요

대칭다항식의 하나
수학의 많은 영역에서 등장함
일반 선형군의 표현론에서 지표 역할
대칭군의 표현론과 일반 선형군의 표현론에서 중요한 역할

정의

변수의 개수 \(n\)과 \(d\)의 (0을 허용하며, 크기가 \(n\)인) 분할(partition) \(\lambda\)가 주어지면 \(d\)차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
- 분할 \(\lambda\)의 크기가 \(n\)보다 큰 경우, \(s_{\lambda}=0\)
다음과 같은 두 개의 분할을 생각하자
- \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
- \(d\)의 (크기가 \(n\)인) 분할 \[\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\]
다음과 같이 \(n\times n\) 행렬의 행렬식으로 두 다항식을 정의하자

\[a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})_{1\le i,j\le n}\] \[a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})_{1\le i,j\le n}\label{van}\]

\ref{van}의 \(a_{\rho}\)는 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)에서 등장하는 반데몬드 다항식이다
슈르다항식은 다음과 같이 정의된다 \[s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\]
교대다항식은 반데몬드 다항식으로 나누어 얻어지므로, 대칭다항식이 된다

예

변수의 개수가 2이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2 \\ \{2,1,1\} & 0 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우

\begin{array}{c|c} \lambda & s_{\lambda } \\ \hline \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array}

영 태블로

영 태블로(Young tableau)를 이용한 슈르 다항식의 표현

\[s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\] 여기서 \(T\)는 \(\lambda\) 형태의 준표준 영 태블로

예 \(n=3\), \(\lambda=(2,1,1)\)의 경우, \(s_{\lambda}(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2\)

\[ \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{1} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{2} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array},\, \begin{array}{cc} \boxed{1} & \boxed{3} \\ \boxed{2} & {} \\ \boxed{3} & {} \\ \end{array}\, \]

코스트카 수 (Kostka number)

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)

슈르 다항식은 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)의 다항식으로 표현할 수 있다

정리 (자코비-트루디)

\(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

예

변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다

\[\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\]

예 \[s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=\left( \begin{array}{ccc} h_2 & h_3 & h_4 \\ 1 & h_1 & h_2 \\ 0 & 1 & h_1 \\ \end{array} \right)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\]

코쉬 항등식

다음이 성립한다

\[ \prod_{i,j}(1-x_iy_j)^{-1}=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y) \]

1변수의 예

크기가 1보다 작거나 같은 분할은 \((n), n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)꼴로 주어진다
슈르다항식은 \(s_{(n)}(x_1)=x_1^n\)
따라서

\[ \sum_{n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}}s_{(n)}(x_1)s_{(n)}(y_1)=1+x_1 y_1+x_1^2 y_1^2+x_1^3 y_1^3+\cdots=\frac{1}{1-x_1y_1} \]

2변수의 예

\[ \begin{aligned} \prod_{1\leq i,j\leq 2}(1-x_iy_j)^{-1}&=\sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)s_{\lambda}(y)\\ &=1+x_1 y_1+x_2 y_1+x_1 y_2+x_2 y_2\\ &+x_1^2 y_1^2+x_1 x_2 y_1^2+x_2^2 y_1^2+x_1^2 y_1 y_2+2 x_1 x_2 y_1 y_2+x_2^2 y_1 y_2+x_1^2 y_2^2+x_1 x_2 y_2^2+x_2^2 y_2^2\\ &+x_1^3 y_1^3+x_1^2 x_2 y_1^3+x_1 x_2^2 y_1^3+x_2^3 y_1^3+x_1^3 y_1^2 y_2+2 x_1^2 x_2 y_1^2 y_2+\cdots \end{aligned} \]

리틀우드 항등식

다음이 성립한다

\[ \sum_{\lambda}s_{\lambda}(x)=\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{1-x_{i}}\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{1}{1-x_ix_j} \]

The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (AMS Chelsea Publishing): Dudley E. Littlewood, http://www.amazon.com/Theory-Characters-Representations-Chelsea-Publishing/dp/0821840673.

정리 (맥도날드)

임의의 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)에 대하여, 다음이 성립한다 \[ \sum_{\substack{\lambda \\ \lambda_1\leq m}}s_{\lambda}(x)=\frac{\det_{1\leq i,j\leq n}(x_i^{m+2n-j}-x_i^{j-1})}{\prod_{i=1}^{n}(1-x_{i})\prod_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)(x_ix_j-1)} \]

역사

메모

슈르 다항식의 기약성 http://mathoverflow.net/questions/98494/irreducibility-of-schur-polynomials
\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWE1NTJlYzktMTk5Mi00YWUyLWE2M2YtMTdhNmIwOTc0NmY3/edit

수학용어번역

표준, standard - 대한수학회 수학용어집
준,반, semi - 대한수학회 수학용어집

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Tamvakis, Harry. 2012. “The Theory of Schur Polynomials Revisited.” L’Enseignement Mathématique. Revue Internationale. 2e Série 58 (1-2): 147–163. http://arxiv.org/abs/1008.3094
Bruce Sagan, Schur functions in algebraic combinatorics, in Encyclopaedia of Mathematics, Supplement II M. Hazewinkel ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000, 409-411 http://www.math.msu.edu/~sagan/Papers/Old/schur.pdf
Macdonald, I. G. 1992. “Schur Functions: Theme and Variations.” In Séminaire Lotharingien de Combinatoire (Saint-Nabor, 1992), 498:5–39. Publ. Inst. Rech. Math. Av. Strasbourg: Univ. Louis Pasteur. http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1308728. http://emis.u-strasbg.fr/journals/SLC/opapers/s28macdonald.pdf

리뷰, 에세이, 강의노트

Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276

메타데이터

위키데이터

ID : Q6552939

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 * Sylvain Carrozza, Thomas Krajewski, Adrian Tanasa, Using Grassmann calculus in combinatorics: Lindström-Gessel-Viennot lemma and Schur functions, arXiv:1604.06276 [math.CO], April 21 2016, http://arxiv.org/abs/1604.06276
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+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q6552939 Q6552939]