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==개요==
 
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* 다음과 같은 급수로 정의되는 상수
 
* 다음과 같은 급수로 정의되는 상수
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C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629.
 
C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629.
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여기서 $\{s_i\}$는 실베스터 수열, 즉 $s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1$, $s_0=2$로 정의되는 정수열
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여기서 <math>\{s_i\}</math>는 [[실베스터 수열]], 즉 <math>s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1</math>, <math>s_0=2</math>로 정의되는 정수열
 
* 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다
 
* 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다
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C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots]
 
C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots]
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* $C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]$로 쓰면, $a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2}$, $a_0=0,a_1=a_2=a_3=1$이 성립하며 $a_n$은 모두 완전제곱수가 된다
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* <math>C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]</math>로 쓰면, <math>a_n</math>은 다음의 점화식으로 얻어진다
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:<math>
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a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\
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a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2
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* <math>a_n</math>은 모두 완전제곱수가 된다
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==메모==
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* 다음과 같이 상수 <math>C'</math>를 정의하자
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:<math>
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C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926.
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</math>
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* <math>C'=2C-1</math>이 성립한다
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* 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다
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\frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1}
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==매스매티카 파일 및 계산리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxeWdEWjA0QWY4UHc/edit
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* http://oeis.org/A118227
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[[분류:무리수와 초월수]]
 
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q547432 Q547432]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'Sylvester'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:19 기준 최신판

개요

  • 다음과 같은 급수로 정의되는 상수

\[ C = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i-1}=\frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots\approx 0.64341054629. \] 여기서 \(\{s_i\}\)는 실베스터 수열, 즉 \(s_i = s_{i-1}^2-s_{i-1}+1\), \(s_0=2\)로 정의되는 정수열

  • 초월수이며, 연분수 전개는 다음과 같다

\[ C=[0; 1, 1, 1, 4, 9, 196, 16641, 639988804,\cdots] \]

  • \(C=[a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]\)로 쓰면, \(a_n\)은 다음의 점화식으로 얻어진다

\[ a_0=0,a_1=a_2=a_3=1 \\ a_{n+2}=a_{n}s_{n-2},\, n\geq 2 \]

  • \(a_n\)은 모두 완전제곱수가 된다


메모

  • 다음과 같이 상수 \(C'\)를 정의하자

\[ C' = \sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{s_i}=\frac12 - \frac13 + \frac17 - \frac1{43} + \frac1{1807} - \cdots\approx 0.2868210926. \]

  • \(C'=2C-1\)이 성립한다
  • 이는 다음을 이용하여 보일 수 있다

\[ \frac{1}{s_i}=\frac{1}{s_{n-1}-1}-\frac{1}{s_{n}-1} \]


매스매티카 파일 및 계산리소스


사전형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Sylvester'}]
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