"베르누이 수에 대한 쿰머 합동식"의 두 판 사이의 차이

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==쿰머 합동식==
 
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===기호===
 
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* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
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* 소수 <math>p</math>와 정수 <math>x</math>에 대하여, <math>\operatorname{ord}_p x</math>를 <math>a\equiv 0\pmod {p^m}</math>을 만족하는 최대의 <math>m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>으로 정의하자
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* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
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* 유리수 <math>x=a/b</math>에 대해서는 <math>\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b</math>
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* 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자
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* 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 함수 <math>|\cdot|_p</math>를 다음과 같이 정의하자
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:<math>
 
|x|_{p} =
 
|x|_{p} =
 
\begin{cases}  
 
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  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\  
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  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if </math>x\neq 0<math>;}\\  
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  0, & \text{if </math>x=0<math>} \\  
 
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* $B_k$는 [[베르누이 수]]
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* <math>B_k</math>는 [[베르누이 수]]
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:<math>
 
\begin{array}{c|ccccccccccccccccc}
 
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  n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
 
  n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\
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  B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
 
  B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510}
 
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;정리 (쿰머)
 
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$p-1\nmid k$이면 $|B_k/k|_p \leq 1$
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* $p=5$라 두면, 다음이 성립한다
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* <math>p=5</math>라 두면, 다음이 성립한다
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:<math>
 
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  k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\
 
  k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\
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  30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\
 
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;정리 (쿰머)
 
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$p-1\nmid k,k'$이고 $k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}$이면,
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<math>p-1\nmid k,k'</math>이고 <math>k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}</math>이면,
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:<math>
 
(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}}
 
(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}}
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* $p=5$, $N=1$로 두자
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* <math>p=5</math>, <math>N=1</math>로 두자
  
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:<math>
 
\begin{array}{c|c|c|c}
 
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  {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\
 
  {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\
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  \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\
 
  \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\
 
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1VJeDZ0VmZhdW8/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxR1VJeDZ0VmZhdW8/edit
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Robledo, Alvaro Lozano. “Bernoulli Numbers, Hurwitz Numbers, P-Adic L-Functions and Kummer’s Criterion.” RACSAM 101, no. 1 (2007): 1–32.
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
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[[분류:정수론]]
 
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q21450632 Q21450632]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'Kummer'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:21 기준 최신판

개요

  • 쿰머가 발견한 베르누이 수가 만족시키는 합동식
  • p진 L-함수 이론을 통해 이해할 수 있다


쿰머 합동식

기호

  • 소수 \(p\)와 정수 \(x\)에 대하여, \(\operatorname{ord}_p x\)를 \(a\equiv 0\pmod {p^m}\)을 만족하는 최대의 \(m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)으로 정의하자
  • 유리수 \(x=a/b\)에 대해서는 \(\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b\)
  • 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 함수 \(|\cdot|_p\)를 다음과 같이 정의하자

\[ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if \]x\neq 0\(;}\\ 0, & \text{if \)x=0\(} \\ \end{cases} \)

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ \hline B_n & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & 0 & -\frac{691}{2730} & 0 & \frac{7}{6} & 0 & -\frac{3617}{510} \end{array} \]

정리 (쿰머)

\(p-1\nmid k\)이면 \(|B_k/k|_p \leq 1\)

예

  • \(p=5\)라 두면, 다음이 성립한다

\[ \begin{array}{c|c|c|c} k & \frac{B_k}{k} & \operatorname{ord}_p \frac{B_k}{k} & \left| \frac{B_k}{k}\right|_p \\ \hline 2 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 6 & \frac{1}{252} & 0 & 1 \\ 10 & \frac{1}{132} & 0 & 1 \\ 14 & \frac{1}{12} & 0 & 1 \\ 18 & \frac{43867}{14364} & 0 & 1 \\ 22 & \frac{77683}{276} & 0 & 1 \\ 26 & \frac{657931}{12} & 0 & 1 \\ 30 & \frac{1723168255201}{85932} & 0 & 1 \\ \end{array} \]

정리 (쿰머)

\(p-1\nmid k,k'\)이고 \(k \equiv k' \pmod {(p-1)p^N}\)이면, \[ (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}\equiv (1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} \pmod {p^{N+1}} \]

예

  • \(p=5\), \(N=1\)로 두자

\[ \begin{array}{c|c|c|c} {k,k'} &(1-p^{k-1})\frac{B_k}{k} &(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'} & \operatorname{ord}_p \left( (1-p^{k-1})\frac{B_k}{k}-(1-p^{k'-1})\frac{B_{k'}}{k'}\right) \\ \hline \{2,22\} & -\frac{1}{3} & -\frac{9260535240173320423}{69} & 2 \\ \{6,26\} & -\frac{781}{63} & -\frac{49019679427146911456611}{3} & 2 \\ \{10,30\} & -\frac{488281}{33} & -\frac{80241274796472862362430841236981}{21483} & 2 \\ \{14,34\} & -\frac{305175781}{3} & -\frac{4412975905899656936526260615774831}{3} & 2 \\ \{18,38\} & -\frac{8366966247547627}{3591} & -\frac{2805067306174551049480214676451415787241}{3} & 2 \\ \end{array} \]


메모


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Robledo, Alvaro Lozano. “Bernoulli Numbers, Hurwitz Numbers, P-Adic L-Functions and Kummer’s Criterion.” RACSAM 101, no. 1 (2007): 1–32.

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Kummer'}]
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