사교 행렬

개요

• \(M^T J_{n} M = J_{n}\)을 만족시키는 \(2n\times 2n\) 행렬 \(M\) 을 사교행렬이라 함
• 여기서 \(J_{n}\)는 다음과 같이 주어진 \(2n\times 2n\) 행렬

\[ J_{n} =\begin{pmatrix}0 & I_n \\-I_n & 0 \\\end{pmatrix} \]

\(J_n\)

• nonsingular, skew-symmetric 행렬
• \(n=1\)인 경우

\[ \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

• \(n=2\)인 경우

\[ \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

• \(n=3\)인 경우

\[ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

사교행렬

• \(M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \\\end{pmatrix}\in \operatorname{Sp}(2n,\R)\), \(A,B,C,D\in M_{n\times n}(\mathbb{R})\)이 사교행렬이 될 필요충분조건은 다음과 같다

\[ \begin{align} A^tC=C^tA \\ B^tD=D^tB \\ A^tD-C^tB= I_n \end{align} \]

사교 행렬의 예

• 다음과 같은 \(M\)에 대하여, \(M^T J_{3} M =J_{3}\)이 성립한다

\[ M=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & -1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

수학용어번역

• 사교, 심플렉틱 symplectic - 대한수학회 수학용어집

관련된 항목들

• 블록 행렬
• 리만 곡면의 주기 행렬과 겹선형 관계 (bilinear relation)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxcTFiR2V6eEY1Y00/edit

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_matrix

메타데이터

위키데이터

• ID : Q2705070

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'symplectic'}, {'LEMMA': 'matrix'}]