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* 정의
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* <math>\Re(s)>1</math>, <math>\Im(\tau)>0</math>인 복소수 <math>s,\tau=x+iy </math>에 대하여, 다음을 정의  
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:<math>E(\tau,s) =\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}},\quad \tau = x + iy,\quad y > 0</math>
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E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\
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&=\sum_{\gamma\in \Gamma/\Gamma_{\infty}}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s
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여기서 <math>\Gamma=SL(2,\mathbb{Z})</math>, <math>\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in \Gamma|\gamma \infty=\infty\}</math>,
 
* 복소 타원 곡선의 [[스펙트럼 제타 함수]]
 
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==해석적 확장==
 
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* $s>1$에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, $s=1$에서만 단순 폴을 가진다
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==함수방정식==
 
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* $\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)$로 두면, 다음을 만족한다
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* <math>\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)</math>로 두면, 다음을 만족한다
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\xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s)
 
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==마스 형식(Maass form)==
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* [[푸앵카레 상반평면 모델]]에서의 라플라시안
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:<math>\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)</math>
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* 라플라시안 <math>\Delta</math>의 고유벡터
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:<math>\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)</math>
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* 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다
  
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Real_analytic_Eisenstein_series
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_limit_formula
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==관련논문==
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* Lagarias, Jeffrey C., and Robert C. Rhoades. “Polyharmonic Maass Forms for PSL(2, Z).” arXiv:1508.02652 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02652.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7301121 Q7301121]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]

2021년 2월 17일 (수) 02:27 기준 최신판

개요

  • \(\Re(s)>1\), \(\Im(\tau)>0\)인 복소수 \(s,\tau=x+iy \)에 대하여, 다음을 정의

\[ \begin{align} E(\tau,s) &=\sum_{(m,n)\ne (0,0)}{y^s\over|m\tau+n|^{2s}} \\ &=\sum_{\gamma\in \Gamma/\Gamma_{\infty}}\Im\left(\gamma(\tau)\right)^s \end{align} \] 여기서 \(\Gamma=SL(2,\mathbb{Z})\), \(\Gamma_{\infty}=\{\gamma\in \Gamma|\gamma \infty=\infty\}\),

해석적 확장

  • \(s>1\)에서 급수가 수렴하며, 전체 복소 평면으로 확장되며, \(s=1\)에서만 단순 폴을 가진다


크로네커 극한 공식

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi\left(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)\right) +O(s-1)\] 여기서 \(\gamma\) 는 오일러상수, 감마, \(\eta(\tau)\)는 데데킨트 에타함수



함수방정식

  • \(\xi(\tau,s) = \pi^{-s}\Gamma(s)E(\tau,s)\)로 두면, 다음을 만족한다

\[ \xi(\tau,s)=\xi(\tau,1-s) \]


마스 형식(Maass form)

\[\Delta=y^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)\]

  • 라플라시안 \(\Delta\)의 고유벡터

\[\Delta E(z,s)=s(s-1)E(z,s)\]

  • 실해석적 아이젠슈타인 급수는 마스 형식의 예이다


관련된 항목들


수학용어번역

  • analytic - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료


관련논문

  • Lagarias, Jeffrey C., and Robert C. Rhoades. “Polyharmonic Maass Forms for PSL(2, Z).” arXiv:1508.02652 [math], August 11, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.02652.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'real'}, {'LOWER': 'analytic'}, {'LOWER': 'eisenstein'}, {'LEMMA': 'series'}]
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