"해밀턴의 사원수(quarternions)"의 두 판 사이의 차이
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| − | * 복소수는 <math>i^2=-1</math> 을 만족시키는 수를 | + | * 복소수는 <math>i^2=-1</math> 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐. |
* 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함. | * 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함. | ||
* 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험 | * 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험 | ||
| − | * 1843년 마침내 | + | * 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함. |
| + | * 4차원 normed 나눗셈 대수 | ||
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| + | * 4원수란 <math>a+bi+cj+dk</math> 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다. | ||
| + | * 여기서 <math>a,b,c,d</math> 는 실수, <math>i,j,k</math> 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼 | ||
** <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math> | ** <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math> | ||
** <math>ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j</math> | ** <math>ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j</math> | ||
* 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다. | * 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다. | ||
| + | * 모든 4원수들의 집합을 <math>\mathbb{H}</math> 로 보통 표현한다. | ||
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* <math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}</math> 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸 | * <math>\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}</math> 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸 | ||
| + | * 곱셈표는 다음과 같이 읽음 | ||
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| − | + | * 사원수 <math>a+x_1i+x_2j+x_3k</math>를 <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)</math>로 두어 <math>(a,\mathbf{x)}</math>로 쓰자. | |
| − | + | * <math>(a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})</math> | |
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| − | * 단위 | + | * 단위 사원수 <math>q</math> 에 대하여, 3차원 벡터<math>(x,y,z)</math> 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자. |
** <math>q(xi+yj+zk)q^{-1}</math> | ** <math>q(xi+yj+zk)q^{-1}</math> | ||
* 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다. | * 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다. | ||
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| − | * 사원수 <math>a+b i+c j+d k</math> 를 | + | * 사원수 <math>a+b i+c j+d k</math> 를 복소행렬 <math>\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}</math> 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다. |
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| − | + | ==파울리 행렬과의 관계== | |
| − | < | + | <math>\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} </math> |
| − | + | <math>\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} </math> | |
| − | + | <math>\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}</math> | |
| − | + | <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I</math> | |
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| − | + | <math>1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3</math> | |
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| − | + | [[뫼비우스 변환군과 기하학|뫼비우스 변환군과 기하학]] | |
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| − | + | * [[복소수]] | |
| − | + | * [[팔원수(octonions)]] | |
| − | + | * [[3차원 유한회전군의 분류|SO(3) and SU(2) 의 유한부분군]] | |
| − | + | * [[1,2,4,8 과 1,3,7]] | |
| − | * | + | * [[뫼비우스 변환군과 기하학]] |
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| + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== | ||
| + | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxM3dDTGxFTEV2aEU/edit | ||
| + | * http://www.wag.caltech.edu/home/meulbroek/QuaternionExtentions/ | ||
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| − | * | + | ==사전 형태의 자료== |
| + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/사원수 | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/quaternions | * http://en.wikipedia.org/wiki/quaternions | ||
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| − | * http:// | + | ==리뷰, 에세이, 강의노트== |
| − | * | + | * http://arxiv.org/abs/1504.04885 |
| − | + | * B. L. van der Waerden, [http://www.jstor.org/stable/2689449 Hamilton's Discovery of Quaternions], Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234 | |
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| − | + | [[분류:추상대수학]] | |
| + | [[분류:구면기하학]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q173853 Q173853] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LEMMA': 'quaternion'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 03:02 기준 최신판
개요
- 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
- 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
- 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
- 1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
- 4차원 normed 나눗셈 대수
정의
- 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.
- 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
- \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
- \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
- 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.
- 모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
군론과의 관계
- \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸
- 곱셈표는 다음과 같이 읽음
\begin{array}{c|c} \cdot & b \\ \hline a & a\cdot b \end{array}
\begin{array}{c|cccccccc} & 1 & i & j & k & -1 & -i & -j & -k \\ \hline 1 & 1 & i & j & k & -1 & -i & -j & -k \\ i & i & -1 & k & -j & -i & 1 & -k & j \\ j & j & -k & -1 & i & -j & k & 1 & -i \\ k & k & j & -i & -1 & -k & -j & i & 1 \\ -1 & -1 & -i & -j & -k & 1 & i & j & k \\ -i & -i & 1 & -k & j & i & -1 & k & -j \\ -j & -j & k & 1 & -i & j & -k & -1 & i \\ -k & -k & -j & i & 1 & k & j & -i & -1 \end{array}
외적과의 관계
- 사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
- 사원수 \(a+x_1i+x_2j+x_3k\)를 \(\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)\)로 두어 \((a,\mathbf{x)}\)로 쓰자.
- \((a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})\)
- 여기서 \(\times\) 는 3차원 벡터의 외적
3차원 기하학과의 관계
- 단위 사원수 \(q\) 에 대하여, 3차원 벡터\((x,y,z)\) 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
- \(q(xi+yj+zk)q^{-1}\)
- 이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.
- 사원수 \(a+b i+c j+d k\) 를 복소행렬 \(\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}\) 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.
파울리 행렬과의 관계
\(\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix} \)
\(\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\)
\(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I\)
\(1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3\)
메모
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxM3dDTGxFTEV2aEU/edit
- http://www.wag.caltech.edu/home/meulbroek/QuaternionExtentions/
사전 형태의 자료
리뷰, 에세이, 강의노트
- http://arxiv.org/abs/1504.04885
- B. L. van der Waerden, Hamilton's Discovery of Quaternions, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
메타데이터
위키데이터
- ID : Q173853
Spacy 패턴 목록
- [{'LEMMA': 'quaternion'}]