"피타고라스 쌍(Pythagorean triple)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (같은 사용자의 중간 판 9개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* <math>a^2+b^2=c^2</math>를 만족시키는 자연수쌍 <math>(a,b,c)</math> | * <math>a^2+b^2=c^2</math>를 만족시키는 자연수쌍 <math>(a,b,c)</math> | ||
| − | + | ||
| − | + | ==정리== | |
| − | * | + | * 부정방정식 <math>a^2+b^2=c^2</math> 의 모든 정수해는, 정수 <math>p, q</math> 에 대하여 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 꼴로 나타낼 수 있다. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==증명== | |
<math>x^2+y^2=z^2</math>의 정수해를 모두 구하면 된다. | <math>x^2+y^2=z^2</math>의 정수해를 모두 구하면 된다. | ||
| − | <math>z\neq0</math> 을 가정하면, <math>x^2+y^2=z^2</math> 의 서로소인 정수해는 단위원 <math>x^2+y^2=1</math> 상의 유리수해와 일대일대응된다. | + | <math>z \neq0</math> 을 가정하면, <math>x^2+y^2=z^2</math> 의 서로소인 정수해는 단위원 <math>x^2+y^2=1</math> 상의 유리수해와 일대일대응된다. |
| − | [ | + | [[파일:4441713-MSP373197i9ed38gbgf12800002b4d6a6ab587agi1.gif]] |
| − | + | 단위원과 <math>(-1,0)</math> 를 지나는 기울기가 유리수 <math>t=\frac{q}{p}</math> (<math>p,q</math>는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자. | |
| − | 교점의 좌표는 <math>(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})</math> 로 주어진다. | + | 교점의 좌표는 <math>(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})</math> 로 주어진다. 여기서 <math>\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}</math>, <math>\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}</math>를 얻는다. |
따라서 정수해 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 를 얻는다. | 따라서 정수해 <math>(p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)</math> 를 얻는다. | ||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==예== | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==메모== | |
| − | + | * Noam D. Elkies, [http://www.math.harvard.edu/%7Eelkies/Misc/hilbert.pdf Pythagorean triples and Hilbert's Theorem 90] | |
| − | + | ==관련된 항목들== | |
* [[피타고라스의 정리]] | * [[피타고라스의 정리]] | ||
| − | * [[ | + | * [[피타고라스]] |
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==사전 형태의 자료== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple | * http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences] |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
| + | [[분류:미적분학]] | ||
| + | [[분류:디오판투스 방정식]] | ||
| + | |||
| + | ==메타데이터== | ||
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q208225 Q208225] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 04:03 기준 최신판
개요
- \(a^2+b^2=c^2\)를 만족시키는 자연수쌍 \((a,b,c)\)
정리
- 부정방정식 \(a^2+b^2=c^2\) 의 모든 정수해는, 정수 \(p, q\) 에 대하여 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 꼴로 나타낼 수 있다.
증명
\(x^2+y^2=z^2\)의 정수해를 모두 구하면 된다.
\(z \neq0\) 을 가정하면, \(x^2+y^2=z^2\) 의 서로소인 정수해는 단위원 \(x^2+y^2=1\) 상의 유리수해와 일대일대응된다.
단위원과 \((-1,0)\) 를 지나는 기울기가 유리수 \(t=\frac{q}{p}\) (\(p,q\)는 서로소) 인 직선의 교점을 생각하자.
교점의 좌표는 \((\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})\) 로 주어진다. 여기서 \(\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\), \(\frac{2t}{1+t^2}=\frac{2pq}{p^2+q^2}\)를 얻는다.
따라서 정수해 \((p^2 - q^2, 2pq, p^2 + q^2)\) 를 얻는다.
예
역사
메모
- Noam D. Elkies, Pythagorean triples and Hilbert's Theorem 90
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
메타데이터
위키데이터
- ID : Q208225
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]
- [{'LOWER': 'pythagorean'}, {'LEMMA': 'triple'}]