"Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 20개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==지겔의 정리==
  
 +
* <math>\Gamma</math> : Fuchsian 군
 +
* <math>\mathbb H</math> : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)
 +
 +
;정리 (지겔) : fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math>의 면적은 <math>\pi \over 21</math> 이상이다.
 +
 +
 +
 +
==증명==
 +
 +
곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면, 그 넓이는 <math>\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다.
 +
 +
fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math>  에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.
 +
 +
<math>\mathbb H/\Gamma</math>  의 면적은  다음과 같다
 +
:<math>A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})</math>
 +
여기서 <math>{l_i}</math> 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.
 +
 +
다음을 얻는다.
 +
:<math>{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}</math>
 +
 +
오일러의 정리 <math>v-e+1=2-2g</math> 로부터 , <math>e-1=v+2g-2</math>를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다.
 +
:<math>{A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})</math>
 +
 +
<math>A>0</math>이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다
 +
:<math>-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0</math>
 +
 +
<math>{l_i}\geq2</math> 이므로, <math>v\geq 3</math>
 +
 +
<math>v=3</math> 이면, <math>1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0</math> 는 <math>l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 의 경우에 최소값을 갖는다.
 +
 +
따라서, 최소값은 <math>g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 인 경우에 얻어지며 그 값은 <math>{A \over{2\pi}}= 1/42</math>이다.
 +
(증명끝)
 +
 +
==메모==
 +
 +
 +
 +
<blockquote>
 +
<math> Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
 +
이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,
 +
 +
<blockquote>
 +
<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.
 +
 +
정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.
 +
 +
 +
 +
그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는
 +
 +
<blockquote>
 +
<math> \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
로 주어진다. 이를 [http://en.wikipedia.org/wiki/%282,3,7%29 _triangle _group (2,3,7) 삼각형]이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는
 +
 +
<blockquote>
 +
<math> Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도
 +
 +
<blockquote>
 +
<math> \frac{\pi}{42}</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
의 두배 이상은 되어야 한다. 즉
 +
 +
<blockquote>
 +
<math>Area (U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}</math>
 +
</blockquote>
 +
 +
 +
==관련된 고교수학 또는 대학수학==
 +
 +
* [[다면체에 대한 오일러의 정리 V-E+F=2]]
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
 +
* [[컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리]]
 +
* [[모듈라 군(modular group)]]
 +
* [[클라인의 4차곡선]]
 +
* [[3차원 유한회전군의 분류|SO(3) and SU(2) 의 유한부분군]]
 +
* [[쌍곡기하학]]
 +
* [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|Riemann mapping theorem and the uniformization theorem]]
 +
 +
 +
 +
==관련논문==
 +
 +
*  A. Murray Macbeath, Hurwitz Groups and Surfaces (in [http://www.msri.org/publications/books/Book35/contents.html The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve]) p103-113
 +
** [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.ps.gz Postscript file compressed with gzip] / [http://www.msri.org/publications/books/Book35/files/macbeath.pdf PDF file]

2021년 2월 17일 (수) 04:52 기준 최신판

지겔의 정리

  • \(\Gamma\) : Fuchsian 군
  • \(\mathbb H\) : 복소평면의 상반평면(즉 허수부가 0보다 큰 복소수 집합)
정리 (지겔)
fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\)의 면적은 \(\pi \over 21\) 이상이다.


증명

곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 \(\alpha, \beta, \gamma\)로 주어져 있다면, 그 넓이는 \(\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma\) 로 주어진다.

fundamental domain \(\mathbb H/\Gamma\) 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.

\(\mathbb H/\Gamma\) 의 면적은 다음과 같다 \[A=2e\pi - 2\pi -2\pi \sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}=2\pi(e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i})\] 여기서 \({l_i}\) 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.

다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}\]

오일러의 정리 \(v-e+1=2-2g\) 로부터 , \(e-1=v+2g-2\)를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다. \[{A \over{2\pi}}=2g-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})\]

\(A>0\)이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다 \[-2+\sum_{i=1}^{v}(1-\frac{1}{l_i})>0\]

\({l_i}\geq2\) 이므로, \(v\geq 3\)

\(v=3\) 이면, \(1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0\) 는 \(l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 의 경우에 최소값을 갖는다.

따라서, 최소값은 \(g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7\) 인 경우에 얻어지며 그 값은 \({A \over{2\pi}}= 1/42\)이다. (증명끝)

메모

\( Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma\)


이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

\(1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})\)

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.


그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

\( \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}\)

로 주어진다. 이를 _triangle _group (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

\( Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}\)

한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

\( \frac{\pi}{42}\)

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

\(Area (U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}\)


관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들


관련논문

원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Fundamental_domain의_면적에_대한_지겔의_정리&oldid=52152"