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==개요==
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* 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 <math>V</math>에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다
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\chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
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여기서 <math>V_{\lambda'}</math>는 weight <math>\lambda' \in P</math>에 대응되는 <math>V</math>의 weight space
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;정리 (바일 지표 공식)
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<math>\lambda</math>를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 <math>V=L(\lambda)</math>의 지표는 다음과 같다
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:<math>\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}</math>
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* 또다른 표현
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:<math>\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}</math> 여기서
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:<math>A_{\mu}=\sum_{w\in W}  (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]</math>
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*  denominator 항등식
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:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})</math>
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* <math>P</math> : weight lattice
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* <math>W</math> : Weyl group
  
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==군론에서의 지표==
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* <math>h\in \mathfrak{h}</math>에 대하여, <math>e^h</math>는 리군의 원소로 생각할 수 있다
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:<math>\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}</math>
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==함수로 이해하기==
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* <math>e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]</math>
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* <math>\mathfrak{h}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}</math>
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* <math>\mathfrak{h}^{*}</math>에 정의된 함수로 생각하면, <math>\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}</math>
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*  예
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** <math>\mu\in \mathfrak{h}^{*}</math> 에 대하여, <math>A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)</math>
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** <math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}</math>
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==바일 차원 공식(Weyl dimension formula)==
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* [[바일 차원 공식(Weyl dimension formula)]]
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:<math>\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}</math>
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==역사==
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
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* [[수학사 연표]]
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==메모==
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* http://mathoverflow.net/questions/51353/on-the-weyl-character-formula
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==관련된 항목들==
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* [[슈르 다항식(Schur polynomial)]]
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* [[대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식]]
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* [[리대수 지표의 행렬식 표현]]
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* [[프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxY0tramVoYjd4NE0/edit
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==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=character}}
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==사전 형태의 자료==
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_character_formula
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Verma_module
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==관련논문==
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* Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.
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[[분류:리군과 리대수]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q7990328 Q7990328]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'weyl'}, {'LOWER': 'character'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:54 기준 최신판

개요

  • 유한차원 단순리대수의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, 지표는 다음과 같이 정의된다

\[ \chi(V)=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} \] 여기서 \(V_{\lambda'}\)는 weight \(\lambda' \in P\)에 대응되는 \(V\)의 weight space

정리 (바일 지표 공식)

\(\lambda\)를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 \(V=L(\lambda)\)의 지표는 다음과 같다 \[\chi_\lambda:=\chi(V)=\operatorname{ch}(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

  • 또다른 표현

\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서 \[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]

  • denominator 항등식

\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\prod_{\alpha>0}(e^{\alpha/2}-e^{-\alpha/2})\]

기호

  • \(P\) : weight lattice
  • \(W\) : Weyl group


군론에서의 지표

  • \(h\in \mathfrak{h}\)에 대하여, \(e^h\)는 리군의 원소로 생각할 수 있다

\[\operatorname{tr}e^h=\oplus_{\lambda'}\operatorname{tr}_{V_{\lambda'}}e^h=\oplus_{\lambda'} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'(h)}\] 이로부터 \[\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in P} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}\]


함수로 이해하기

  • \(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
  • \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
  • \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
  • 예
    • \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
    • \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)


바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]


역사


메모

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역


사전 형태의 자료



관련논문

  • Bernshtein, I. N., I. M. Gel’fand, and S. I. Gel’fand. 1971. “Structure of Representations Generated by Vectors of Highest Weight.” Functional Analysis and Its Applications 5 (1) (January 1): 1–8. doi:http://dx.doi.org/10.1007/BF01075841.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'weyl'}, {'LOWER': 'character'}, {'LEMMA': 'formula'}]
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