"각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (같은 사용자의 중간 판 15개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==개요== | |
| − | + | * [[작도문제와 구적가능성]] 에 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체에 들어 있다. | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [[작도문제와 구적가능성]] | ||
* [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]]의 개념이 중요 | * [[거듭제곱근 체확장(radical extension)]]의 개념이 중요 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==삼등분 가능하지 않은 각도== | |
| − | + | 만약 삼등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다. | |
| − | + | 먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 <math>\mathbb K</math>라 하자. | |
| − | < | + | 주어진 각 <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> 를 삼등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다. |
| − | + | 여기서는 각도 <math>\alpha = \frac{\theta}{3}</math> 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, <math>\cos \alpha</math>가 <math>\mathbb K</math> 안에 들어있지 않음을 보이면 된다. | |
| − | + | <math>\cos \theta = \frac{1}{2}</math> 와 코사인이 만족시키는 공식 <math>\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)</math> 을 활용하면, <math>y=\cos \alpha</math> 는 유리계수다항식 <math>1/2 = 4y^{3} - 3y</math> 즉, <math>(2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0</math> 을 만족시킨다. | |
| − | < | + | <math>x = 2y</math> 로 두면, <math>x^{3} - 3x - 1 = 0</math> 가 만족된다. |
| − | + | 한편 <math>x^{3} - 3x - 1 = 0</math>는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다. | |
| − | |||
| − | + | 따라서 <math>x</math>는 <math>\mathbb K</math>안에 있을 수 없고, <math>y</math>도 마찬가지이다. | |
| − | < | + | 그러므로 각도 <math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다. |
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==재미있는 사실== | |
| − | + | * 삼등분의 불가능이 증명되었음에도, 해법을 찾는 사람들이 많다. 이들을 angle trisector 라고 부른다. | |
| + | * 이러한 주장에 현혹되는 것은 큰 망신을 살 수 있는 행위가 되므로, 주의를 요함. | ||
| + | * [http://pomp.tistory.com/entry/%EB%84%A4%EC%9D%B4%EB%B2%84-%EC%82%AC%EA%B3%A0-%EC%B9%98%EB%8B%A4 네이버 사고 치다], Pomp On Math & Puzzle, 2009-4-27 | ||
| + | * [http://news.naver.com/main/read.nhn?mode=LSD&mid=sec&sid1=103&oid=001&aid=0000611420 각의 3등분의 정리], 함보현 기자, 연합뉴스, 2004-04-03 | ||
| + | <blockquote> | ||
| + | 임의의 각 3등분 문제는 프랑스의 수학자 완첼(1814-1848)에 의해 작도 불가능이 증명됐다고 알려져 왔다. 「각의 3등분의 정리」(김휘암 지음)는 이러한 통념을 뒤엎고 특정한 각에 대한 3등분이 가능함을 증명한 책이다. | ||
| + | </blockquote> | ||
| + | * 이러한 기사를 쓰는 경우, 기자로서의 자질을 의심받을 수도 있다. | ||
| − | + | ||
| + | ==메모== | ||
| + | * http://www.veritas-a.com/news/articleView.html?idxno=39237 | ||
| + | |||
| − | + | ==관련된 항목들== | |
| − | + | * [[그리스 3대 작도 불가능문제]] | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | * | ||
| − | |||
| − | + | ==사전형태의 자료== | |
* http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection | * http://en.wikipedia.org/wiki/Angle_trisection | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==관련기사== | |
| − | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) | + | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정) |
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EA%B0%81%EC%9D%983%EB%93%B1%EB%B6%84 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=각의3등분] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EA%B0%81%EC%9D%983%EB%93%B1%EB%B6%84 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=각의3등분] | ||
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%95%A8%EB%B3%B4%ED%98%84%EA%B8%B0%EC%9E%90 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=함보현기자] | ** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%95%A8%EB%B3%B4%ED%98%84%EA%B8%B0%EC%9E%90 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=함보현기자] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ||
| − | + | ==블로그== | |
| − | + | * [http://uniqueness.egloos.com/3706082 일반적으로 각의 삼등분이 항상 가능하지 않음에 대한 증명], Existence and Uniqueness | |
| + | [[분류:작도]] | ||
| − | + | ==메타데이터== | |
| − | + | ===위키데이터=== | |
| − | * | + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q733081 Q733081] |
| − | + | ===Spacy 패턴 목록=== | |
| − | + | * [{'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'trisection'}] | |
| − | + | * [{'LOWER': 'angle'}, {'LOWER': 'trisection'}, {'LEMMA': 'method'}] | |
| − | |||
| − | |||
2021년 2월 17일 (수) 03:57 기준 최신판
개요
- 작도문제와 구적가능성 에 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체에 들어 있다.
- 거듭제곱근 체확장(radical extension)의 개념이 중요
삼등분 가능하지 않은 각도
만약 삼등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다.
먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 \(\mathbb K\)라 하자.
주어진 각 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 를 삼등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.
여기서는 각도 \(\alpha = \frac{\theta}{3}\) 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, \(\cos \alpha\)가 \(\mathbb K\) 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.
\(\cos \theta = \frac{1}{2}\) 와 코사인이 만족시키는 공식 \(\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)\) 을 활용하면, \(y=\cos \alpha\) 는 유리계수다항식 \(1/2 = 4y^{3} - 3y\) 즉, \((2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0\) 을 만족시킨다.
\(x = 2y\) 로 두면, \(x^{3} - 3x - 1 = 0\) 가 만족된다.
한편 \(x^{3} - 3x - 1 = 0\)는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다.
따라서 \(x\)는 \(\mathbb K\)안에 있을 수 없고, \(y\)도 마찬가지이다.
그러므로 각도 \(\theta=\frac{\pi}{3}\) 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다.
재미있는 사실
- 삼등분의 불가능이 증명되었음에도, 해법을 찾는 사람들이 많다. 이들을 angle trisector 라고 부른다.
- 이러한 주장에 현혹되는 것은 큰 망신을 살 수 있는 행위가 되므로, 주의를 요함.
- 네이버 사고 치다, Pomp On Math & Puzzle, 2009-4-27
- 각의 3등분의 정리, 함보현 기자, 연합뉴스, 2004-04-03
임의의 각 3등분 문제는 프랑스의 수학자 완첼(1814-1848)에 의해 작도 불가능이 증명됐다고 알려져 왔다. 「각의 3등분의 정리」(김휘암 지음)는 이러한 통념을 뒤엎고 특정한 각에 대한 3등분이 가능함을 증명한 책이다.
- 이러한 기사를 쓰는 경우, 기자로서의 자질을 의심받을 수도 있다.
메모
관련된 항목들
사전형태의 자료
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
블로그
- 일반적으로 각의 삼등분이 항상 가능하지 않음에 대한 증명, Existence and Uniqueness
메타데이터
위키데이터
- ID : Q733081
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'angle'}, {'LEMMA': 'trisection'}]
- [{'LOWER': 'angle'}, {'LOWER': 'trisection'}, {'LEMMA': 'method'}]