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==복소함수론에서의 그린 함수==
 
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* 단순연결된 열린 집합 $U\subset \mathbb{C}$와 $z_0\in U$에 대한 그린 함수 $u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
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* 단순연결된 열린 집합 <math>U\subset \mathbb{C}</math>와 <math>z_0\in U</math>에 대한 그린 함수 <math>u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}</math> 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
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** $u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|$는 $U$에서 정의되는 조화함수
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** <math>u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|</math>는 <math>U</math>에서 정의되는 조화함수
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** $z\to \partial{U}$일 때, $u_{z_0}\to 0$
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** <math>z\to \partial{U}</math>일 때, <math>u_{z_0}\to 0</math>
 
* 컴팩트 리만 곡면에 대해서도 그린 함수를 정의할 수 있다
 
* 컴팩트 리만 곡면에 대해서도 그린 함수를 정의할 수 있다
 
** 리만 곡면론의 전개에 중요한 역할
 
** 리만 곡면론의 전개에 중요한 역할
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====unit disk에서의 예====
 
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* $\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}$와 $z_0=0$에 대한 그린 함수 $u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}$ 는 다음과 같이 주어진다
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* <math>\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}</math>와 <math>z_0=0</math>에 대한 그린 함수 <math>u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}</math> 는 다음과 같이 주어진다
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u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2)
 
u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2)
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====포아송 방정식====
 
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* $U$에서 $\Delta u=f$이고 $\partial{U}$에서 $u=0$로 주어지는 미분방정식의 해 $u$를 다음과 같이 쓸 수 있다
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* <math>U</math>에서 <math>\Delta u=f</math>이고 <math>\partial{U}</math>에서 <math>u=0</math>로 주어지는 미분방정식의 해 <math>u</math>를 다음과 같이 쓸 수 있다
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u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta
 
u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
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* Bandle, C., and M. Flucher. “Harmonic Radius and Concentration of Energy; Hyperbolic Radius and Liouville’s Equations <math>\Delta U = e^U </math> and <math>\Delta U = U^{\tfrac{{n + 2}}{{n - 2}}} </math>.” SIAM Review 38, no. 2 (June 1, 1996): 191–238. doi:10.1137/1038039.
 
* [http://people.stfx.ca/x2009/x2009hwu/Phys415-GreensFunctions.pdf Physics 415: Green's functions and complex analysis]
 
* [http://people.stfx.ca/x2009/x2009hwu/Phys415-GreensFunctions.pdf Physics 415: Green's functions and complex analysis]
 
* http://www.uh.edu/engines/epi1924.htm
 
* http://www.uh.edu/engines/epi1924.htm
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==관련논문==
 
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[[분류:미분방정식]]
 
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==메타데이터==
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q827688 Q827688]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'poisson'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:00 기준 최신판

개요

  • 경계 조건 또는 초기 조건이 주어진 inhomogeneous 선형미분방정식의 해를 표현하기 위한 함수
  • 일반적으로는 distribution
  • 예를 들어 heat kernel 은 열방정식의 그린 함수이다


복소함수론에서의 그린 함수

  • 단순연결된 열린 집합 \(U\subset \mathbb{C}\)와 \(z_0\in U\)에 대한 그린 함수 \(u_{z_0} :U\backslash{\{z_0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음의 조건을 만족하는 조화함수로 정의된다
    • \(u_{z_0}(z)+\log |z-z_0|\)는 \(U\)에서 정의되는 조화함수
    • \(z\to \partial{U}\)일 때, \(u_{z_0}\to 0\)
  • 컴팩트 리만 곡면에 대해서도 그린 함수를 정의할 수 있다
    • 리만 곡면론의 전개에 중요한 역할


unit disk에서의 예

  • \(\mathbb{D}=\{z=x+iy\in \mathbb{C}:|z|< 1 \}\)와 \(z_0=0\)에 대한 그린 함수 \(u_0 : \mathbb{D}\backslash{\{0\}}\to \mathbb{R}\) 는 다음과 같이 주어진다

\[ u_0(z)=- \log |z|=-\frac{1}{2} \log (x^2+y^2) \]


포아송 방정식

  • \(U\)에서 \(\Delta u=f\)이고 \(\partial{U}\)에서 \(u=0\)로 주어지는 미분방정식의 해 \(u\)를 다음과 같이 쓸 수 있다

\[ u(z)=\int_{U}u_{\zeta}(z)f(\zeta)d\zeta \]


상미분방정식에서의 응용



편미분방정식에서의 응용




열방정식

  • 열방정식 heat kernel 부분에서 가져옴
  • 무한한 길이의 막대를 가정 \(-\infty<x<\infty\)
  • 초기조건 (\(t=0\)) 에서의 온도분포\[u(x,0)=f(x)\]
  • heat kernel\[K(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \beta t}}\exp\left(-\frac{x^2}{4\beta t}\right)\]
  • heat kernel 을 이용한 열방정식의 해\[u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(y)K(x-y,t)\,dy=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \beta t}}\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4\beta t}\right)\,dy\]



포아송 방정식



맥스웰 방정식


역사



메모



관련된 항목들


사전 형태의 자료


관련도서


리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

  • Grossi, Massimo, and Djordjije Vujadinovic. “On the Green Function of the Annulus.” arXiv:1508.06404 [math], August 26, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06404.
  • Melnikov, Y.A., and M.Y. Melnikov. 2006. “Computability of Series Representations for Green’s Functions in a Rectangle.” Engineering Analysis with Boundary Elements 30 (9) (September): 774–780. doi:10.1016/j.enganabound.2006.03.010.
  • Jacobson, A. W. 1950. “The Green’s Functions for the Rectangle Obtained by the Finite Fourier Transformations.” Proceedings of the American Mathematical Society 1 (5) (October 1): 682–686. doi:10.2307/2032301.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'poisson'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'equation'}]
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