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*** 호몰로지를 이해하기 위해 필요 | *** 호몰로지를 이해하기 위해 필요 | ||
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==표준적인 교과서== | ==표준적인 교과서== | ||
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** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ** 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯. | ||
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| + | * [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'topology'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:02 기준 최신판
개요
- 대수적인 도구를 통해 위상적인 공간을 이해하는 법을 배움.
- 곡면의 분류 정리, fundamental group, 덮개 공간 (covering space), 호몰로지 등을 공부함
- 대학원 수준에서는 n차원 다양체를 대상으로 대수적으로 표현되는 위상적 불변량을 찾음.
선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들
- 기초적인 일반위상수학
- product space
- quotient space
- 연결, 컴팩트
- 추상대수학
- 군의 정의
- 유한생성아벨군의 기본정리
다루는 대상
- 곡면
- Simplicial complex
중요한 개념 및 정리
- 오일러의 정리
- V-E+F = 2- 2g
- 곡면의 분류 정리
- 컴팩트 곡면
- 종수와 orientability
- 경계가 있는 곡면
- 종수,orientability, 경계의 개수
- 컴팩트 곡면
- 호모토피
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
- 공간에 있는 하나의 루프를 연속적으로 변화시켜 점으로 만들 수 있다면, 호모토피의 관점에서 루프는 점과 같다고 말할 수 있음.
- 이 '연속적인 변화'를 호모토피라 부름.
- 공간 사이에 주어진 하나의 연속함수를 '연속적으로 변화'시켜 다른 연속함수를 얻을 수 있을 때, 두 연속함수는 호모토픽하다고 말함.
- fundamental group
- 구면의 경우 모든 루프는 한 점과 호모토픽.
- 도넛의 경우는 구면의 경우와는 달리, 점으로 만들수 없는 루프가 존재.
- 호모토픽한 루프들을 모아서 호모토픽 클래스라고 부름.
- 호모토픽 클래스들 사이에 연산을 주어, 군을 만들수 있음.
- 이 군은 공간에 놓여진 루프들의 호모토피 클래스에 대한 정보를 담고 있음.
- 위상적 공간의 정보를 담고 있는 대수적인 물건.
- 단일연결된 공간(simply connected space)
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
- 구면은 단일연결되어있음.
- 도넛은 단일연결되어있지 않음.
- 포앵카레의 추측
- 모든 루프가 점과 호모토픽한 경우, 그 공간은 단일연결되었다고 함.
- 덮개 공간 (covering space)
- 보편 덮개 (universal covering)
- Hairy ball theorem
- 호몰로지
곡면의 fundamental group
- 종수가 \(g\)인 닫힌 곡면의 fundamental group
\(\langle a_1,b_1, a_2, b_2, \cdots a_g, b_g \mid a_1 b_1 a_1^{-1} b_1^{-1}a_2 b_2 a_2^{-1} b_2^{-1}\cdots a_g b_g a_g^{-1} b_g^{-1}=1 \rangle\,\!\)
유명한 정리 혹은 생각할만한 문제
- 포앵카레-호프 정리
- 브라우어 부동점 정리
- 레프쉐츠 부동점 정리
다른 과목과의 관련성
- 일반위상수학
- 다변수미적분학
- 벡터장
- 선적분
- 어떤 벡터장의 선적분이 경로에 의존하는가 하지 않는가의 문제와 밀접하게 관련
- 포앵카레 보조정리
- 미분기하학
- 가우스-보네 정리
- 복소함수론
- Uniformization theorem 과 단일연결된 상수곡률곡면
- 호모토피와 코쉬정리
- 모노드로미
- 추상대수학
- 군론
- fundamental group
- covering space의 deck transformation group
- 유한생성 아벨군의 기본정리
- 호몰로지를 이해하기 위해 필요
- 군론
관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들
- 대학원 수준의 대수적위상수학
- 벡터번들
- 호몰로지 대수
- Characteristic class
- 리만곡면론
- Branched covering
표준적인 교과서
추천도서 및 보조교재
- Algebraic Topology
- W. Fulton
- 표준적인 대수적 위상수학 교과서라 할 수는 없으나, 대수적위상수학의 중요한 개념들을 리만곡면론을 비롯한 실전에 적용하는 형태로 배울수 있음.
- Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
리뷰, 에세이, 강의노트
- López, Rafael. “How Does a Topologist Classify the Letters of the Alphabet?” arXiv:1410.3364 [math], October 9, 2014. http://arxiv.org/abs/1410.3364.
- Peter Hilton, A Brief, Subjective History of Homology and Homotopy Theory in This Century, Mathematics Magazine, Vol. 61, No. 5 (Dec., 1988), pp. 282-291
관련논문
- Gugnin, Dmitry V. ‘On Integral Cohomology Ring of Symmetric Products’. arXiv:1502.01862 [math], 6 February 2015. http://arxiv.org/abs/1502.01862.
노트
- Having constructed a wiring diagram in this way, Sizemore and co applied the techniques of algebraic topology to study its structure.[1]
- The most important classes of objects whose properties are studied in algebraic topology include complexes (polyhedra, cf.[2]
- A major role in algebraic topology is played by special invariants connected with various algebraic structures over the fundamental group.[2]
- This is another type of problem dealt with by algebraic topology.[2]
- They were used to improve the calculation methods of algebraic topology.[2]
- This book is written as a textbook on algebraic topology.[3]
- In mathematics, homotopy groups are used in algebraic topology to classify topological spaces.[4]
- You should read something about the basics of algebraic topology ( topological spaces, fundamental group, covering spaces).[5]
- The discipline of algebraic topology is popularly known as "rubber-sheet geometry" and can also be viewed as the study of disconnectivities.[6]
소스
메타데이터
위키데이터
- ID : Q212803
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'algebraic'}, {'LEMMA': 'topology'}]