"대칭군 (symmetric group)"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지에 대칭군_(symmetric_group).nb 파일을 등록하셨습니다.)
 
(사용자 2명의 중간 판 62개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
+
==개요==
−
 
 
−
* [[대칭군 (symmetric group)]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
  
 
* 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
 
* 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
−
* <math>n!</math> 개의 원소가 존재함
+
* <math>n!</math> 개의 원소가 존재함
 
* 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림
 
* 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림
  
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">presentation</h5>
 
−
 
−
*  생성원 <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math><br> 여기서 <math>\sigma_i=(i, i+1)</math><br>
 
−
*  relations<br>
 
−
** <math>{\sigma_i}^2 = 1</math><br>
 
−
** <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math><br>
 
−
** <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\</math><br>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
이제 치환이라는 말을 정의하자. 치환이란 우리의 경우에는 네 개의 원소로 구성된 집합 <math>\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}</math>에 정의되는 전단사함수를 말한다. <math>\alpha_1</math>을 <math>\alpha_3</math>으로 보내고, <math>\alpha_3</math>을 <math>\alpha_1</math>로 보내고, <math>\alpha_2</math>와 <math>\alpha_4</math>는 그대로 주는 치환을 간단히 다음과 같이 쓰자.
 
−
 
−
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 1 &  4\end{pmatrix}</math>
 
−
 
−
'''방정식의 해의 치환군은 해의 위치를 서로 바꿔주는 치환 중에서, 해들이 만족시키는 방정식의 대수적관계 (더 정확히는 유리계수다항식) 를 보존하는 것들로 정의'''된다.
 
−
 
−
가령 위의 네 해는 <math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>, <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math>와 같은 대수적관계들을 만족시킨다. 그러면 치환군의 원소는 어떤 것들이 있을지 생각해볼 수 있겠다.
 
−
 
−
<math>\tau=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 3 &  4\end{pmatrix}</math> 는 치환군의 원소가 될 수 없는데, <math>\alpha_1\alpha_4=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)\tau(\alpha_4)=\alpha_2\alpha_4\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 임을 기억하자)
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>\alpha_1\alpha_4=\alpha_2\alpha_3=1</math>라는 조건으로부터, <math>\{1,4\}</math>와 <math>\{2,3\}</math> 이 쌍으로 움직여야 한다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 치환들만이 치환군의 원소 후보가 될 수 있다.
 
−
 
−
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 &  3\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 &  1\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
 
−
 
−
그러나 여기서 <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 2 &  4\end{pmatrix}</math>와 같은 경우는 치환군의 원소가 될 수 없는데,  <math>\alpha_1^2\alpha_3=1</math> 임에 반하여, <math>\tau(\alpha_1)^2\tau(\alpha_3)=\alpha_1^2\alpha_2\neq 1</math>이기 때문이다.(<math>\alpha_i=\zeta^i</math> 이므로)
 
−
 
−
 
 
−
 
−
결국엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
 
−
 
−
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
 
−
 
−
 
 
−
 
−
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math>는 함수이므로, <math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}^2</math>는 함수의 합성으로 이해할 수 있다.
 
−
 
−
<math>\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 &  3\end{pmatrix}</math> 로 두면,<math>\sigma^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>,  <math>\sigma^3=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 &  2\end{pmatrix}</math>, <math>\sigma^4=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math> 가 되어, 모든 원소가 <math>\sigma</math>로부터 얻어지게 된다.
 
−
 
−
즉 친숙한 군 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 비교하자면, <math>\sigma</math>는 좌향좌 또는 우향우와 같은 역할을 방정식의 해에 대하여 하고 있다. 크기가 4인 [[순환군]]이 된다.
 
−
 
−
 
 
−
 
−
 
 
−
 
−
또다른 예를 하나 더 생각해 보자.
 
−
 
−
<math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math>의 네 해는 다음과 같이 주어진다.
 
−
 
−
<math>\alpha_1 = \sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
 
−
 
−
<math>\alpha_2 = \sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
 
−
 
−
<math>\alpha_3 = -\sqrt{2} + \sqrt{3}</math>
 
−
 
−
<math>\alpha_4= -\sqrt{2} - \sqrt{3}</math>
 
−
 
−
 
 
  
−
이 경우엔 다음의 네 가지 치환만이 치환군의 원소가 될 수 있게 된다.
+
  
−
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math> ,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 &  2\end{pmatrix}</math>,<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 &  1\end{pmatrix}</math>
+
==presentation==
 +
* 생성원 <math>\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}</math> 여기서 <math>\sigma_i=(i, i+1)</math>
 +
* 관계식
 +
** <math>{\sigma_i}^2 = 1</math>
 +
** <math>\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1</math> (즉 <math>|i-j|\geq 2</math>)
 +
** <math>\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}</math> 이 조건은 <math>(\sigma_i\sigma_{i+1})^3=1</math> 로 쓸 수 있다
 +
* 이로부터  대칭군은 [[유한반사군과 콕세터군(finite reflection groups and Coxeter groups)|콕세터군]]임을 알 수 있다
 +
:<math>\left\langle \sigma_1,\cdots, \sigma_{n-1}\mid \sigma_1^2=\cdots=\sigma_{n-1}^2=1, (\sigma_i\sigma_{i+1})^{3}=1, i=1,\cdots, n-2\right\rangle</math>
  
−
그런데
+
==예==
 +
* [[대칭군 S3]]
 +
  
−
<math>x=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>x^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
+
==방정식에의 응용==
  
−
<math>y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 1 & 2\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>y^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
+
* [[방정식과 대칭성 : 치환군]]
 +
   
  
−
<math>z=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1\end{pmatrix}</math>로 쓰면, <math>z^2=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 &  4\end{pmatrix}</math>
+
   
  
−
로 모두 제곱하면 항등원이 되어버리므로, 이 군은 절대로 {차렷, 좌향좌, 우향우, 뒤로돌아}와 같은 구조를 가질 수 없음을 알게 된다.
+
==관련된 항목들==
 +
* [[사다리타기의 수학]]
 +
* [[대칭군의 표현론]]
 +
* [[대칭군의 지표(character)에 대한 프로베니우스 공식]]
 +
* [[대칭다항식]]
 +
* [[유한반사군과 콕세터 군(finite reflection groups and Coxeter groups)]]
  
−
 
+
==메모==
−
 
 
−
방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>와 <math>x^4 - 10x^2 + 1=0</math> 는 뭔가 질적으로 다르다는 것을 이 치환군은 말해주고 있다.
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5>
 
−
 
 
−
* [[추상대수학]]<br>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5>
 
  
 
* http://mathoverflow.net/questions/10635/why-are-the-characters-of-the-symmetric-group-integer-valued
 
* http://mathoverflow.net/questions/10635/why-are-the-characters-of-the-symmetric-group-integer-valued
−
* <math>S_6</math>는 항등원이 아닌 outer automorphism을 가짐<br>
+
* <math>S_6</math>는 항등원이 아닌 outer automorphism을 가짐
−
**  예외적인 경우<br>
+
* http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
−
* 사다리타기의 수학 [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%ED%83%80%EA%B8%B0 http://ko.wikipedia.org/wiki/사다리타기] , http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=2684<br>
+
* Berkove, Ethan, David Cervantes Nava, Daniel Condon, and Rachel Katz. ‘Automorphisms of <math>S_6</math> and the Colored Cubes Puzzle’. arXiv:1503.07184 [math], 24 March 2015. http://arxiv.org/abs/1503.07184.
−
 
+
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5>
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
−
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
  
−
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
+
==역사==
  
−
 
+
* [[수학사 연표]]
  
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
−
* http://functions.wolfram.com/
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 
  
−
* [[매스매티카 파일 목록]]
+
  
−
 
+
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
−
 
+
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZjJmYTU3ZmQtYTcxMC00MmMxLWIyNDAtYjk1NmJhOTg0MTEy&sort=name&layout=list&num=50
 +
  
−
 
+
==수학용어번역==
 +
* {{학술용어집|url=presentation}}
 +
** 표시, 표현
 +
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5>
+
  
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
+
==사전 형태의 자료==
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=symmetric+group
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=presentation
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5>
 
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
−
 
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Automorphisms_of_the_symmetric_and_alternating_groups
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_groups
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_groups
  
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
+
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+
==리뷰, 에세이, 강의노트==
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+
* McCammond, Jon. “The Exceptional Symmetry.” arXiv:1412.1855 [math], December 4, 2014. http://arxiv.org/abs/1412.1855.
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
−
 
 
  
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5>
 
  
 +
==관련논문==
 +
* Yury A. Neretin, Algebras of conjugacy classes in symmetric groups, arXiv:1604.05755 [math.GR], April 19 2016, http://arxiv.org/abs/1604.05755
 +
* Morotti, Lucia. ‘Sign Conjugacy Classes of the Symmetric Groups’. arXiv:1412.4990 [math], 16 December 2014. http://arxiv.org/abs/1412.4990.
 
* [http://www.jstor.org/stable/2324961 Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6]
 
* [http://www.jstor.org/stable/2324961 Symmetries of the Cube and Outer Automorphisms of S6]
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=random
+
 
−
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
+
[[분류:군론]]
−
* http://www.ams.org/mathscinet
 
−
* http://dx.doi.org/
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5>
 
−
 
 
−
*  도서내검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5>
 
−
 
 
−
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
−
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%ED%83%80%EA%B8%B0 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=사다리타기]
 
−
** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%ED%83%80%EA%B8%B0%EC%88%98%ED%95%99 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=사다리타기수학]
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
 
 
−
<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5>
 
  
−
*  구글 블로그 검색<br>
+
==메타데이터==
−
** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EC%82%AC%EB%8B%A4%EB%A6%AC%ED%83%80%EA%B8%B0%EC%88%98%ED%95%99 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=사다리타기수학]
+
===위키데이터===
−
** http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
+
* ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q4826703 Q4826703]
−
* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 오늘의과학]
+
===Spacy 패턴 목록===
−
* [http://math.dongascience.com/ 수학동아]
+
* [{'LOWER': 'automorphisms'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'symmetric'}, {'LOWER': 'and'}, {'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'group'}]
−
* [http://www.ams.org/mathmoments/ Mathematical Moments from the AMS]
 
−
* [http://betterexplained.com/ BetterExplained]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:02 기준 최신판

개요

  • 원소의 개수가 n인 집합의 전단사함수들의 모임으로 군을 이룸
  • \(n!\) 개의 원소가 존재함
  • 대칭군의 부분군은 치환군(permutation group)이라 불림



presentation

  • 생성원 \(\sigma_1, \ldots, \sigma_{n-1}\) 여기서 \(\sigma_i=(i, i+1)\)
  • 관계식
    • \({\sigma_i}^2 = 1\)
    • \(\sigma_i\sigma_j = \sigma_j\sigma_i \mbox{ if } j \neq i\pm 1\) (즉 \(|i-j|\geq 2\))
    • \(\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i = \sigma_{i+1}\sigma_i\sigma_{i+1}\) 이 조건은 \((\sigma_i\sigma_{i+1})^3=1\) 로 쓸 수 있다
  • 이로부터 대칭군은 콕세터군임을 알 수 있다

\[\left\langle \sigma_1,\cdots, \sigma_{n-1}\mid \sigma_1^2=\cdots=\sigma_{n-1}^2=1, (\sigma_i\sigma_{i+1})^{3}=1, i=1,\cdots, n-2\right\rangle\]

예


방정식에의 응용



관련된 항목들

메모


역사



매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • presentation - 대한수학회 수학용어집
    • 표시, 표현



사전 형태의 자료


리뷰, 에세이, 강의노트


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'automorphisms'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'the'}, {'LOWER': 'symmetric'}, {'LOWER': 'and'}, {'LOWER': 'alternating'}, {'LEMMA': 'group'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=대칭군_(symmetric_group)&oldid=52225"