"더블감마함수와 반스(Barnes) G-함수"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 04:02 기준 최신판

개요

더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
성질\[G(1)=1\]\[G(s+1) =\Gamma(s)G(s)\]
자연수 n에 대하여 다음이 성립한다\[G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!\]

점근급수

점근 급수(asymptotic series)

\[\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)\]

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 \(A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots\)

스털링 공식

special values

A는 Glaisher–Kinkelin 상수\[G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\]\[G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}\] 또는 \(G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}\)

로그 삼각함수 적분과의 관계

\[\int_{0}^{t}\pi u \cot \pi u\,du=t\log {2\pi}+\log \frac{G(1-t)}{G(1+t)}\] \[\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}\]

역사

수학사 연표

메모

수학용어번역

hyperfactorial - 대한수학회 수학용어집
발음사전 http://www.forvo.com/search/Barnes

사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

ID : Q808463

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'barnes'}, {'LOWER': 'g'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]

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 *  자연수 n에 대하여 다음이 성립한다:<math>G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!</math>
 ==점근급수==
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 :<math>\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)</math>
-여기서 A는 [[Glaisher–Kinkelin 상수]] <math>A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots</math>
+여기서 A는 [[Glaisher–Kinkelin 상수]] <math>A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots</math>
 * [[스털링 공식]]
 ==special values==
-*  A는 [[Glaisher–Kinkelin 상수]]:<math>G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}</math>:<math>G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}</math> 또는 <math>G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}</math>
+*  A는 [[Glaisher–Kinkelin 상수]]:<math>G(\frac{1}{2})=2^{\frac{1}{24}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}</math>:<math>G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{1}{8}}\cdot A^{-\frac{3}{2}}</math> 또는 <math>G(\frac{3}{4})=2^{-\frac{1}{8}}\cdot \pi^{-\frac{1}{4}}\cdot e^{\frac{3}{32}+\frac{G}{4\pi}}\cdot A^{-\frac{9}{8}}\cdot \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}}</math>
 ==로그 삼각함수 적분과의 관계==
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 :<math>\int_{0}^{t}\log(\sin \pi u)\,du=t\log(\frac{\sin \pi t}{2\pi})+\log \frac{G(1+t)}{G(1-t)}</math>
 ==역사==
 * [[수학사 연표]]
 ==메모==
 ==관련된 항목들==
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 * [[로그 사인 적분 (log sine integrals)]]
 ==수학용어번역==
 * {{학술용어집|url=hyperfactorial}}
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/Barnes
+* 발음사전 http://www.forvo.com/search/Barnes
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_G-function
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=Barnes+G-function
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 ** [http://dlmf.nist.gov/5.17 § 5.17. Barnes’ -Function (Double Gamma Function)]
 ==관련논문==
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 * Barnes, E. W. 2013. “The Genesis of the Double Gamma Functions.” Proceedings of the London Mathematical Society S1-31 (1): 358. doi:10.1112/plms/s1-31.1.358.
 [[분류:특수함수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q808463 Q808463]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'barnes'}, {'LOWER': 'g'}, {'OP': '*'}, {'LEMMA': 'function'}]