랜덤워크(random walk)

개요

• 도박사의 파산(gambler's ruin)
• 브라운 운동

도박사의 파산

• http://math.ucsd.edu/~anistat/gamblers_ruin.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Gambler's_ruin
• 일정한 총량의 돈을 가진 사람 A,B간의 게임
• 일정한 확률로 승패가 결정되는 게임을 둘 중 한명이 파산할 때까지 반복

정리

A,B가 각각 \(n_1,n_2\)만큼의 돈을 가지고 있고, 각각의 게임에서 A가 이길확률을 p, B가 이길확률을 q=1-p라 두자. 한 사람이 파산할 때까지 경기를 반복할 경우, A,B가 파산할 확률은 각각 다음과 같다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 일 때, \[P_A= \frac{(\frac{q}{p})^{n_1}-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] \[P_B= \frac{1-(\frac{q}{p})^{n_1}}{1-(\frac{q}{p})^{n_1+n_2}}\] (ii) \(p= \frac{1}{2}\)일 때, \[P_A= \frac{n_2}{n_1+n_2}\] \[P_B= \frac{n_1}{n_1+n_2}\]

(증명)

A,B가 가진돈을 합하여 \(N=n_1+n_2\), 상수이다.

A가 n개의 동전을 가진 상태에 있을때, 파산할 확률을 \(P_n\)이라 두자.

점화식 \(P_n=pP_{n+1}+qP_{n-1}\)이 성립한다.\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\).

선형점화식이므로, 이차방정식 \(px^2-x+q=0\)의 해를 구하면, 1과 \(q/p\) 를 얻는다.

(i) \(p\neq \frac{1}{2}\) 인 경우는, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta(\frac{q}{p})^n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하여, 상수 \(\alpha,\beta\)를 구할 수 있다. \[P_n= 1-\frac{1-(\frac{q}{p})^{n}}{1-(\frac{q}{p})^{N}}\] 를 얻는다.

(ii) \(p= \frac{1}{2}\) 인 경우, 적당한 상수 \(\alpha,\beta\)에 대하여 \(P_n=\alpha+\beta n\) 의 꼴로 쓸 수 있다.

\(P_0=1, P_{n_1+n_2}=0\) 을 이용하면, \(\alpha = 1\), \(\beta =-\frac{1}{N}\)를 얻는다.

\(P_n= 1-\frac{n}{N}\) 를 얻는다. ■

응용

• A를 카지노, B를 소량의 돈을 가지고 온 관광객이라고 하자.
• A의 돈은 무한대로 볼 수 있으므로, B가 계속 게임을 한다고 가정할 경우, 결국 돈을 다 잃고 나오기 쉽다.

동전던지기

• 앞뒷면이 나올 확률을 가진 동전
• 원점에서 출발하여 1차원 격자점에서 동전던지기의 결과를 따라 주변의 격자점으로 움직일 때, 다시 원점으로 돌아올 확률과 기대값
• nearest-neighbor random walk
• 앞면이 나올 확률은 p, 왼쪽으로 이동
• 뒷변이 나올 확률은 q, 오른족으로 이동

메모

• http://www.jstor.org/stable/2304386

관련된 항목들

• 드무아브르-라플라스 중심극한정리
• 생성함수
• 이항급수와 이항정리

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_flipping

리뷰, 에세이, 강의노트

• Bovet, Alexandre. “An Introduction to Non-Diffusive Transport Models.” arXiv:1508.01879 [cond-Mat], August 8, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.01879.

메타데이터

위키데이터

• ID : Q660446

Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'gambler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LEMMA': 'ruin'}]