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==개요==
 
==개요==
  
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* 르장드르 미분방정식의 해로 얻어짐
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* 르장드르 미분방정식의 해로 얻어지는 다항식 <math>P_n(x), \, n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>
 
* 구간 <math>[-1,1]</math>에서 <math>\text{L}^2</math> 내적에 의해 직교성을 가짐
 
* 구간 <math>[-1,1]</math>에서 <math>\text{L}^2</math> 내적에 의해 직교성을 가짐
 
* 물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
 
* 물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
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* [[자코비 다항식]] <math>P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)</math>의 특수한 경우로 얻어지며 <math>P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)</math>이 성립
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==르장드르 미분방정식==
 
==르장드르 미분방정식==
  
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*  미분방정식:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0</math><br>
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*  미분방정식:<math>{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0</math>
 
* [[스텀-리우빌 이론]] 을 적용할 수 있음
 
* [[스텀-리우빌 이론]] 을 적용할 수 있음
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*  같은 미분방정식을 다음과 같이 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]형태로 쓸 수 있음:<math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,</math><br>
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*  같은 미분방정식을 다음과 같이 [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]형태로 쓸 수 있음:<math>(1-x^2)\,y'' -2xy' + n(n+1)y = 0,\,</math>
  
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==로드리게즈 공식==
 
==로드리게즈 공식==
  
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*  르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법:<math>P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math><br>
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*  르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법
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:<math>P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]</math>
  
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==3항 점화식==
 
==3항 점화식==
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==생성함수==
 
==생성함수==
  
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* [[생성함수]]:<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots</math><br>
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* [[생성함수]]:<math>\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots</math>
  
 
   
 
   
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==부분적분에의 응용==
 
==부분적분에의 응용==
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;정리
 
<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
 
<math>n\geq 1</math> 일 때, n번 미분가능한 함수 <math>f</math>에 대하여 다음이 성립한다.
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:<math>\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.</math>
  
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<math>\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx</math>.
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;증명
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(증명)
 
  
 
<math>Q(x)=(x^2-1)^n</math> 라 두자.
 
<math>Q(x)=(x^2-1)^n</math> 라 두자.
  
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<math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면,
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<math>0\leq k < n</math> 일 때 <math>Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0</math>이므로. 부분적분을 반복적용하면 다음을 얻는다.
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:<math>\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math>
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<math>\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx</math>
 
  
 
<math>P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}</math> 이므로 증명되었다.  ■
 
<math>P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}</math> 이므로 증명되었다.  ■
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* [[파이 π는 무리수이다]]
 
* [[파이 π는 무리수이다]]
  
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==직교성==
 
==직교성==
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;정리
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:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}</math>
  
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<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}</math>
 
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(증명)
 
  
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<math>n>m</math> 이라 가정하자.
 
<math>n>m</math> 이라 가정하자.
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:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx</math>
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<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx</math>
 
  
 
위에서 증명한 성질을 응용하였다.
 
위에서 증명한 성질을 응용하였다.
  
 
한편 <math>P_{m}(x)</math>는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서,
 
한편 <math>P_{m}(x)</math>는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서,
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:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0</math>
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이제 <math>n=m</math> 이라 가정하자.
 
이제 <math>n=m</math> 이라 가정하자.
  
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<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx</math>
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:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx</math>
  
 
한편,
 
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<math>\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1  t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}</math>
+
:<math>\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1  t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}</math>
  
 
여기서 <math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> 는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 이다.
 
여기서 <math>B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt</math> 는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 이다.
  
 
따라서
 
따라서
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:<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.</math>■
  
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<math>\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}</math>.■
 
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==목록==
 
==목록==
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:<math>
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P_0(x)=1<br> P_1(x)=x<br> P_2(x)=1/2 (-1+3 x^2)<br> P_3(x)=1/2 (-3 x+5 x^3)<br> P_4(x)=1/8 (3-30 x^2+35 x^4)<br> P_5(x)=1/8 (15 x-70 x^3+63 x^5)<br> P_6(x)=1/16 (-5+105 x^2-315 x^4+231 x^6)<br> P_7(x)=1/16 (-35 x+315 x^3-693 x^5+429 x^7)<br> P_8(x)=1/128 (35-1260 x^2+6930 x^4-12012 x^6+6435 x^8)<br> P_9(x)=1/128 (315 x-4620 x^3+18018 x^5-25740 x^7+12155 x^9)<br> P_{10}(x)=1/256 (-63+3465 x^2-30030 x^4+90090 x^6-109395 x^8+46189 x^10)
+
\begin{array}{c|c}
−
 
+
n & P_n(x) \\
−
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\hline
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0 & 1 \\
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1 & x \\
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2 & \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\
 +
3 & \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\
 +
4 & \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\
 +
5 & \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\
 +
6 & \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\
 +
7 & \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\
 +
8 & \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\
 +
9 & \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\
 +
10 & \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\
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\end{array}
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</math>
  
 
   
 
   
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==역사==
 
==역사==
  
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* [[수학사 연표]]
  
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* associated Legendre polynomial
 
* associated Legendre polynomial
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
 +
* [[자코비 다항식]]
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxT09yS1Rtb2RCYm8/edit
 
   
 
   
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==수학용어번역==
 
−
 
−
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
 
−
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
 
−
* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
−
 
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−
 
 
   
 
   
  
 
==사전 형태의 자료==
 
==사전 형태의 자료==
  
−
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%A5%B4%EC%9E%A5%EB%93%9C%EB%A5%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식]
+
* http://ko.wikipedia.org/wiki/르장드르_다항식
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/Associated_Legendre_polynomials
 
* http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html
−
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+
** [http://dlmf.nist.gov/14 Chapter 14 Legendre and Related Functions]
−
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
+
[[분류:특수함수]]
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 +
== 관련논문 ==
 +
 
 +
* Yajun Zhou, Two Definite Integrals Involving Products of Four Legendre Functions, http://arxiv.org/abs/1603.03547v1
 +
 
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q215405 Q215405]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:41 기준 최신판

개요

  • 르장드르 미분방정식의 해로 얻어지는 다항식 \(P_n(x), \, n\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)
  • 구간 \([-1,1]\)에서 \(\text{L}^2\) 내적에 의해 직교성을 가짐
  • 물리학에서 많이 등장하는 다항식의 하나
  • 자코비 다항식 \(P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)\)의 특수한 경우로 얻어지며 \(P_n(x)=P_n^{(0,0)}(x)\)이 성립


르장드르 미분방정식


로드리게즈 공식

  • 르장드르 다항식을 얻는 직접적인 방법

\[P_n(x) =\frac{1}{2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right]\]


3항 점화식

\(P_0(x)=1\), \(P_1(x)=x\)

\((n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\)



생성함수

  • 생성함수\[\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n = 1+x t+\left(-\frac{1}{2}+\frac{3 x^2}{2}\right) t^2+\left(-\frac{3 x}{2}+\frac{5 x^3}{2}\right) t^3+\frac{1}{8} \left(3-30 x^2+35 x^4\right) t^4+\frac{1}{8} \left(15 x-70 x^3+63 x^5\right) t^5+\cdots\]



부분적분에의 응용

정리

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다. \[\int_{-1}^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nf^{(n)}(x)\,dx.\]

증명

\(Q(x)=(x^2-1)^n\) 라 두자.

\(0\leq k < n\) 일 때 \(Q^{(k)}(-1)=Q^{(k)}(1)=0\)이므로. 부분적분을 반복적용하면 다음을 얻는다. \[\int_{-1}^1Q^{(n)}(x)f(x)\,dx=-\int_{-1}^1Q^{(n-1)}(x)f'(x)\,dx=\cdots=(-1)^n \int_{-1}^1 Q(x)f^{(n)}(x)\,dx\]

\(P_n(x) =\frac{Q^{(n)}(x)}{2^n n!}\) 이므로 증명되었다. ■


직교성

정리

\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\delta_{n,m}\]


증명

\(n>m\) 이라 가정하자. \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 x^{n}(x^2-1)^nP_{m}^{(n)}(x)\,dx\]

위에서 증명한 성질을 응용하였다.

한편 \(P_{m}(x)\)는 차수가 m인 다항식이므로, n번 미분하면 항등적으로 0이 된다. 따라서, \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=0\]

이제 \(n=m\) 이라 가정하자.

\[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^nP_{n}^{(n)}(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{2^n n!}\frac{(2n)!}{2^n n!}\int_{-1}^1 (x^2-1)^n\,dx\]

한편,

\[\int_{-1}^1 (x^2-1)^n \,dx=(-1)^n\int_{-1}^1 (1-x^2)^n \,dx=(-1)^n 2^{2n+1}\int_0^1 t^n(1-t)^n\,dt=(-1)^n 2^{2n+1} B(n+1,n+1)=(-1)^n2^{2n+1}\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\]

여기서 \(B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\) 는 오일러 베타적분(베타함수) 이다.

따라서 \[\int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}.\]■


목록

\[ \begin{array}{c|c} n & P_n(x) \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & x \\ 2 & \frac{1}{2} \left(3 x^2-1\right) \\ 3 & \frac{1}{2} \left(5 x^3-3 x\right) \\ 4 & \frac{1}{8} \left(35 x^4-30 x^2+3\right) \\ 5 & \frac{1}{8} \left(63 x^5-70 x^3+15 x\right) \\ 6 & \frac{1}{16} \left(231 x^6-315 x^4+105 x^2-5\right) \\ 7 & \frac{1}{16} \left(429 x^7-693 x^5+315 x^3-35 x\right) \\ 8 & \frac{1}{128} \left(6435 x^8-12012 x^6+6930 x^4-1260 x^2+35\right) \\ 9 & \frac{1}{128} \left(12155 x^9-25740 x^7+18018 x^5-4620 x^3+315 x\right) \\ 10 & \frac{1}{256} \left(46189 x^{10}-109395 x^8+90090 x^6-30030 x^4+3465 x^2-63\right) \\ \end{array} \]


역사



메모


관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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