"르장드르 부호와 자코비 부호"의 두 판 사이의 차이

수학노트
둘러보기로 가기 검색하러 가기
(피타고라스님이 이 페이지를 개설하였습니다.)
 
 
(사용자 2명의 중간 판 20개는 보이지 않습니다)
1번째 줄: 1번째 줄:
 +
==개요==
  
 +
* [[이차잉여의 상호법칙]] 을 기술하기 위한 필요에서 탄생, 정수론에서 중요한 역할
 +
* 정수 <math>a</math>와 홀수인 소수 <math>p</math> 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다
 +
:<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
 +
* 자코비 부호는 르장드르 부호의 일반화이다
 +
* 정수 <math>a</math>와 양수인 홀수 <math>n</math> 에 대하여, 자코비 부호를 다음과 같이 정의한다
 +
:<math>\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}</math>
 +
여기서 <math>n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}</math>
 +
* 자코비 부호 <math>\chi(\cdot)=(\tfrac{\cdot}{n})</math> 는 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}</math> 에 대한 [[디리클레 캐릭터]] 가 된다
 +
 +
==이차잉여==
 +
* <math>\left(\tfrac{a}{n}\right)=-1</math> 이면 <math>a</math>는 모듈로 <math>n</math>에 대한 비이차잉여이다
 +
* <math>a</math>가 모듈로 <math>n</math>에 대한 [[이차잉여의 상호법칙|이차잉여]] 이면 <math>\left(\tfrac{a}{n}\right)=1</math> 이 성립한다
 +
* 주의 <math>\left(\tfrac{2}{15}\right)=1</math> 이지만 2는 모듈로 15에 대한 이차잉여 가 아니다
 +
 +
 +
==메모==
 +
 +
 +
 +
* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 +
 +
 +
 +
 +
 +
==관련된 항목들==
 +
* [[힐베르트 부호]]
 +
* [[이차잉여의 상호법칙]]
 +
 +
 +
 +
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 +
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNV9uaUtJeTd2UUk/edit?pli=1
 +
 +
 +
 +
==사전 형태의 자료==
 +
 +
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_symbol
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_symbol
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_symbol
 +
* http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_reciprocity#Jacobi_symbol
 +
 +
 +
 +
 +
[[분류:초등정수론]]
 +
 +
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q748339 Q748339]
 +
===Spacy 패턴 목록===
 +
* [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'symbol'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:41 기준 최신판

개요

  • 이차잉여의 상호법칙 을 기술하기 위한 필요에서 탄생, 정수론에서 중요한 역할
  • 정수 \(a\)와 홀수인 소수 \(p\) 에 대하여, 르장드르 부호를 다음과 같이 정의한다

\[\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\]

  • 자코비 부호는 르장드르 부호의 일반화이다
  • 정수 \(a\)와 양수인 홀수 \(n\) 에 대하여, 자코비 부호를 다음과 같이 정의한다

\[\Bigg(\frac{a}{n}\Bigg) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{\alpha_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{\alpha_2}\cdots \left(\frac{a}{p_k}\right)^{\alpha_k}\] 여기서 \(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\)

  • 자코비 부호 \(\chi(\cdot)=(\tfrac{\cdot}{n})\) 는 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}\) 에 대한 디리클레 캐릭터 가 된다

이차잉여

  • \(\left(\tfrac{a}{n}\right)=-1\) 이면 \(a\)는 모듈로 \(n\)에 대한 비이차잉여이다
  • \(a\)가 모듈로 \(n\)에 대한 이차잉여 이면 \(\left(\tfrac{a}{n}\right)=1\) 이 성립한다
  • 주의 \(\left(\tfrac{2}{15}\right)=1\) 이지만 2는 모듈로 15에 대한 이차잉여 가 아니다


메모



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전 형태의 자료

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'legendre'}, {'LEMMA': 'symbol'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=르장드르_부호와_자코비_부호&oldid=52269"