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==개요==
  
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* 베르누이 다항식 <math>B_n(x)</math>의 생성함수는 다음과 같이 정의
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:<math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>
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* 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐
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:<math>B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}</math>
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여기서 <math>B_k</math> 는 [[베르누이 수]]
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==여러가지 성질==
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* 베르누이 수 <math>B_n(0)=B_n</math>
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* 다음을 만족한다 (점화 관계)
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:<math>\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)</math>
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* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]에서 유용한 결과로 다음 등식이 성립한다
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:<math>\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}</math>
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* 곱셈공식
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:<math>B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)</math>
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==테이블==
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\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
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  & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\
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0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
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1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
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2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\
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3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\
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4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
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5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\
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6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\
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7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\
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8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\
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9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\
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==L-함수와의 관계==
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* [[디리클레 L-함수]] <math>n\geq 1</math> 일 때, :<math>L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})</math>
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==역사==
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* [[수학사 연표]]
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==관련된 항목들==
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* [[베르누이 수]]
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* [[원분체 (cyclotomic field)]]
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxUmVreE9aekRfMEU/edit
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* [http://archive.org/details/jresv44n1p103 Table of Modified Bernoulli Polynomials]
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==수학용어번역==
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* {{학술용어집|url=modified}}
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==사전 형태의 자료==
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EB%B2%A0%EB%A5%B4%EB%88%84%EC%9D%B4_%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D http://ko.wikipedia.org/wiki/베르누이_다항식]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_polynomials
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
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==관련논문==
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* Qi, Feng. “Two Closed Forms for the Bernoulli Polynomials.” arXiv:1506.02137 [math], June 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.02137.
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2346201 Q2346201]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:44 기준 최신판

개요

  • 베르누이 다항식 \(B_n(x)\)의 생성함수는 다음과 같이 정의

\[\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}\]

  • 좀더 구체적으로는 다음과 같이 주어짐

\[B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n \choose k}B_k x^{n-k}\] 여기서 \(B_k\) 는 베르누이 수


여러가지 성질

  • 베르누이 수 \(B_n(0)=B_n\)
  • 다음을 만족한다 (점화 관계)

\[\frac{d}{dx}B_k (x) = k B_{k-1} (x)\]

\[\left(\Delta B_n\right)(x)=B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\]

  • 곱셈공식

\[B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{k=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{k}{m}\right)\]



테이블

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & B_n(x) & B_n'(x) & \Delta B_n(x)=B_n(x+1)-B_n(x) & B_n(0) & B_n(1) \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & x-\frac{1}{2} & 1 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 2 & x^2-x+\frac{1}{6} & 2 x-1 & 2 x & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ 3 & x^3-\frac{3 x^2}{2}+\frac{x}{2} & 3 x^2-3 x+\frac{1}{2} & 3 x^2 & 0 & 0 \\ 4 & x^4-2 x^3+x^2-\frac{1}{30} & 4 x^3-6 x^2+2 x & 4 x^3 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 5 & x^5-\frac{5 x^4}{2}+\frac{5 x^3}{3}-\frac{x}{6} & 5 x^4-10 x^3+5 x^2-\frac{1}{6} & 5 x^4 & 0 & 0 \\ 6 & x^6-3 x^5+\frac{5 x^4}{2}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{42} & 6 x^5-15 x^4+10 x^3-x & 6 x^5 & \frac{1}{42} & \frac{1}{42} \\ 7 & x^7-\frac{7 x^6}{2}+\frac{7 x^5}{2}-\frac{7 x^3}{6}+\frac{x}{6} & 7 x^6-21 x^5+\frac{35 x^4}{2}-\frac{7 x^2}{2}+\frac{1}{6} & 7 x^6 & 0 & 0 \\ 8 & x^8-4 x^7+\frac{14 x^6}{3}-\frac{7 x^4}{3}+\frac{2 x^2}{3}-\frac{1}{30} & 8 x^7-28 x^6+28 x^5-\frac{28 x^3}{3}+\frac{4 x}{3} & 8 x^7 & -\frac{1}{30} & -\frac{1}{30} \\ 9 & x^9-\frac{9 x^8}{2}+6 x^7-\frac{21 x^5}{5}+2 x^3-\frac{3 x}{10} & 9 x^8-36 x^7+42 x^6-21 x^4+6 x^2-\frac{3}{10} & 9 x^8 & 0 & 0 \\ \end{array}


L-함수와의 관계

  • 디리클레 L-함수 \(n\geq 1\) 일 때, \[L(1-n,\chi)=-\frac{f^{n-1}}{n}\sum_{(a,f)=1}\chi(a)B_n(\frac{a}{f})\]



역사



관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스


수학용어번역

  • modified - 대한수학회 수학용어집



사전 형태의 자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'bernoulli'}, {'LEMMA': 'polynomial'}]
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