"사각 피라미드 퍼즐"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* 공을 다음 그림처럼 피라미드 모양으로 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?
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* 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?
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[[파일:2054496-q138.png]]
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[/pages/2054496/attachments/925572 q138.png]
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* 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
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*  수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.<br><math>1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2</math><br>
 
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* 답은 두 쌍이 존재.<br> (n,m)=(1,1) or (24,70)<br>
 
 
* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
 
* Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
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* [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.<br><math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math><br>
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* 다음 [[타원곡선]]의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
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:<math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} \label{eq}</math>
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<h5><br> 풀이</h5>
 
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자명하게 x, x+1, 2x+1 은 쌍쌍이 서로소.<br> 이 때, x 가 mod 6 에 대해 어떤 경우라도 성립하지 않음을 보이자. (참고로 서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 자명하게 이용)<br> x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²
 
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x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y²
 
  
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이 두 경우 모두 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.<br> 마찬가지로 x ≡ 3, -1 (mod 6) 일 때 에도 계산해 보면 각각
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x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²
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x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²
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==티오판투스 방정식==
  
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이 경우도 마찬가지로 X² ≡ -1 (mod 4) 로 모순임을 쉽게 보일 수 있다.<br> 이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 되는데 0 일 때 만 보이면 1 일 때 에도 자명하게 되므로 0 일 때만 보이도록 하겠다. 식에 대입하면<br> t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다. 우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 쉽게 알 수 있다. -> ([√2 * p])² < 2p² - 1 ( 단순히 생각해 보면 자명하게 맞음...) 또한, [X] > X - 1 임을 이용하면<br> ([√2 p] + 1)² > 2p² -1 이다. 따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순.. 따라서 p 는 6 이하가 된다. 이 때 대입해 보면 p 가 2 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.<br> 마찬가지로 x ≡ 3 (mod 6) 일 때 에도 해보면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y² 이 나오는데 3t + 1 을 p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다. 따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)
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* 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다
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:<math>1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2</math>
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]이 사용되었다
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*  답은 두 쌍이 존재:<math>(n,m)=(1,1) \text{ or } (24,70)</math>
  
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<h5>정수계수 타원곡선으로의 변형</h5>
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==다른 정수계수 타원곡선으로의 변형==
  
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<math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math> 
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* <math>y^2=x^3-36x</math> 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
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* \ref{eq}에서 <math>x=\frac{x_1-6}{12}</math>, <math>y=\frac{y_1}{72}</math> 로 치환하면, 다음을 얻는다.
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:<math>y_1^2=x_1^3-36x_1 \label{eq2}</math>
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* \ref{eq}의 정수해는 위의 치환에 의해 \ref{eq2}의 정수해에 대응되므로, \ref{eq2}의 정수해를 모두 찾으면 된다.
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* \ref{eq2}의 모든 정수해는 <math>(x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)</math> 이다. '''[DP2009]'''
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* 이 중에서 <math>y_1</math>이 72의 배수가 되는 경우는 <math>(18,\pm72), (294,\pm5040)</math>
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* 위에서 찾은 정수해는 타원곡선<math>y^2=x^3-36x</math>의 rank가 1이상임을 증명한다
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* 이는 또한 6이 [[합동수 문제 (congruent number problem)|합동수]] 임을 증명한다
  
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를 사용하면,
 
  
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<math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math> 를 얻는다.
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<math>y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}</math> 의 정수해는 <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 주게 되므로, <math>y_1^2=x_1^3-36x_1</math>의 정수해를 찾으면 된다(?)
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==메모==
  
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* [[congruent number 문제]](참고로 6은 congruent number)
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* 24차원의 [[리치 격자(Leech lattice)|리치 격자]]는, 26차원 even unimodular 격자 <math>II_{25,1}</math>의 길이 0인 벡터 <math>(0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)</math>을 사용하여 구성할 수 있다
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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==관련된 고교수학==
  
 
* [[04 부분합과 급수]]
 
* [[04 부분합과 급수]]
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* [[초등정수론]]
 
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
 
  
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==관련된 항목들==
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
  
 
* [[타원곡선]]
 
* [[타원곡선]]
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* [[초등정수론]]
 
* [[숫자 12와 24|Number 12 and 24]]
 
* [[숫자 12와 24|Number 12 and 24]]
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* [[congruent number 문제]]
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* [[합동수 문제 (congruent number problem)]]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
 
* http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
 
* http://mathworld.wolfram.com/SquarePyramidalNumber.html
−
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
 
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
  
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<h5>관련논문</h5>
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==관련논문==
  
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* [http://www.math.ubc.ca/%7Ebennett/paper21.pdf Lucas' Square Pyramid Problem Revisited]<br>
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* '''[DP2009]'''[http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2008.07.002 Solving the Diophantine equation y2=x(x2−n2)]
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** Konstantinos Draziotis, Dimitrios Poulakis, Journal of Number Theory, Volume 129, Issue 3, March 2009, Pages 739-740,
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* [http://www.ams.org/mcom/2006-75-255/S0025-5718-06-01841-2/home.html Practical solution of the Diophantine equation <math> y^2 = x(x+2^ap^b)(x-2^ap^b)</math>]
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** Konstantinos Draziotis; Dimitrios Poulakis, Math. Comp. 75 (2006), 1585-1593. 
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* [http://www.math.ubc.ca/%7Ebennett/paper21.pdf Lucas' Square Pyramid Problem Revisited]
 
** Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
 
** Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002
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* [http://www.jstor.org/stable/2323911 The Square Pyramid Puzzle]<br>
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* [http://www.mathstat.uottawa.ca/%7Egwalsh/benwal1.pdf The Diophantine equation <math>b^2X^4-dY^2=1</math>]
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** W. S. Anglin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
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** M. A. Bennett and P. G. Walsh, Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), 3481-3491
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*  
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* [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa78/aa7847.pdf The Diophantine equation x4− Dy2= 1 II]
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** J.H.E Cohn, Acta Arith, 1997
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* [http://www.jstor.org/stable/2323911 The Square Pyramid Puzzle]
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** W. S. Anglin, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
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* [http://qjmath.oxfordjournals.org/cgi/reprint/26/1/279.pdf THE DIOPHANTINE EQUATION x. 4. -Dy. 2. = 1.]
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** J.H.E Cohn, Quart. J. Math. Oxford (3),J26 (1975), 279-281
  
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<h5>블로그</h5>
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* [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)]<br>
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==블로그==
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** Secret Math Blog, 2009-1
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* [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle]<br>
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* [http://smbseminar.wordpress.com/2009/01/11/%EC%82%AC%EA%B0%81-%ED%94%BC%EB%9D%BC%EB%AF%B8%EB%93%9C-%ED%8D%BC%EC%A6%901/ 사각 피라미드 퍼즐(1)] Secret Math Blog, 2009-1
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* [http://wiessen.tistory.com/269 The Square Pyramid Puzzle]
 
** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8
 
** Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8
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[[분류:디오판투스 방정식]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q2510203 Q2510203]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'leech'}, {'LEMMA': 'lattice'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:46 기준 최신판

개요

  • 공으로 다음 그림처럼 밑면이 정사각형인 피라미드를 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 될까?

2054496-q138.png

  • 1층 또는 24층 두 경우만이 가능하다
  • Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
  • 다음 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.

\[y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} \label{eq}\]



티오판투스 방정식

  • 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어진다

\[1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\]



다른 정수계수 타원곡선으로의 변형

  • \(y^2=x^3-36x\) 의 정수해를 찾는 문제로의 변형
  • \ref{eq}에서 \(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\) 로 치환하면, 다음을 얻는다.

\[y_1^2=x_1^3-36x_1 \label{eq2}\]

  • \ref{eq}의 정수해는 위의 치환에 의해 \ref{eq2}의 정수해에 대응되므로, \ref{eq2}의 정수해를 모두 찾으면 된다.
  • \ref{eq2}의 모든 정수해는 \((x_1,y_1)= (0, 0), (\pm6, 0), (-3,\pm9), (-2,\pm8), (12,\pm36), (18,\pm72), (294,\pm5040)\) 이다. [DP2009]
  • 이 중에서 \(y_1\)이 72의 배수가 되는 경우는 \((18,\pm72), (294,\pm5040)\)
  • 위에서 찾은 정수해는 타원곡선\(y^2=x^3-36x\)의 rank가 1이상임을 증명한다
  • 이는 또한 6이 합동수 임을 증명한다



메모

  • 24차원의 리치 격자는, 26차원 even unimodular 격자 \(II_{25,1}\)의 길이 0인 벡터 \((0,1,2,3,\dots,22,23,24; 70)\)을 사용하여 구성할 수 있다



관련된 고교수학


관련된 항목들



사전 형태의 자료


관련논문



블로그

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'leech'}, {'LEMMA': 'lattice'}]
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