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==사인과 코사인의 거듭제곱==
 
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*  사인과 코사인의 거듭제곱<br><math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math><br><math>\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math><br>
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*  사인과 코사인의 거듭제곱:<math>\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math>:<math>\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!</math>
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<math>\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx</math>
 
<math>\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx</math>
  
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<math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math>
 
<math>\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math>
  
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여기서 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \dx</math>
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여기서 치환적분 <math>u=\cos x</math>, <math>dv=\sin^{n-2}x\cos x \,dx</math>
  
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<math>\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math>
 
<math>\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx</math>
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<math>\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x</math>
 
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*  이 결과들은 [[월리스 곱 (Wallis product formula)]] 에 응용할 수 있다<br>
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*  정적분의 결과는 [[오일러 베타적분(베타함수)]] 로 표현할 수 있다<br>
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==탄젠트와 시컨트의 거듭제곱==
 
==탄젠트와 시컨트의 거듭제곱==
  
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed<br>
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Integral_of_secant_cubed
  
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<math>\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}</math>
 
<math>\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}</math>
  
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==재미있는 사실==
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
 
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
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==역사==
 
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
 
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* [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
 
−
* [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
 
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 
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==메모==
 
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[부분적분]]
  
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==리뷰, 에세이, 강의노트==
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* Katugampola, Udita N. “Geometric Approach to the Integral <math>\int \sec X\,dx</math>.” arXiv:1511.01006 [math], November 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01006.
  
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==수학용어번역==
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[[분류:삼각함수]]
  
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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==메타데이터==
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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===위키데이터===
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q987236 Q987236]
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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===Spacy 패턴 목록===
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [{'LOWER': 'integral'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'secant'}, {'LEMMA': 'cube'}]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
 
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==사전 형태의 자료==
 
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
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* http://www.proofwiki.org/wiki/
 
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
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* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
 
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
 
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 
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==링크==
 
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[[분류:삼각함수]]
 

2021년 2월 17일 (수) 04:47 기준 최신판

개요

사인과 코사인의 거듭제곱

  • 사인과 코사인의 거듭제곱\[\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\]\[\int\cos^n x\;dx = \frac{\cos^{n-1} x\sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2} x\;dx \qquad\mbox{(for }n>2\mbox{)}\,\!\]
(증명)

\(\int\sin^n {x}\,dx = \int\sin^{n-2}{x} (1-\cos^2 x)\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx\)


\(\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int (\sin^{n-2}{x}\cos x)\cos x \,dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\int \frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x \sin x dx=\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)

여기서 치환적분 \(u=\cos x\), \(dv=\sin^{n-2}x\cos x \,dx\)


\(\int\sin^n {x}\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\int \sin^{n-2}{x}\cos^2 x\,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x-\frac{1}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx\)

\(\frac{n}{n-1}\int \sin^{n}x \,dx=\int\sin^{n-2}{x}-\frac{1}{n-1}\sin^{n-1}x\cos x\)


\(\int\sin^n {x}\;dx = -\frac{\sin^{n-1} x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2} x\;dx\) ■




탄젠트와 시컨트의 거듭제곱


\(\begin{align} \int \sec^3 x \, dx &{}= \int u\,dv \\ &{}= uv - \int v\,du \\ &{} = \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\ &{}= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx.\right) \\ &{}= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx. \end{align}\)



관련된 항목들


리뷰, 에세이, 강의노트

  • Katugampola, Udita N. “Geometric Approach to the Integral \(\int \sec X\,dx\).” arXiv:1511.01006 [math], November 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1511.01006.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'integral'}, {'LOWER': 'of'}, {'LOWER': 'secant'}, {'LEMMA': 'cube'}]
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