"슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)"의 두 판 사이의 차이

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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
  
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* 복소해석학의 리만 사상 정리 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.
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* 복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
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*  다음 조건을 가정
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** 실수축 위에 있는 <math>\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}</math>가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
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** n각형의 내각이 <math>\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}</math>이고 외각이 <math>\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}</math>  인 경우 (즉 <math>\alpha_k+\mu_k=1</math>, <math>\sum_{k=1}^n \mu_k=2</math>)
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*  위의 같은 조건하에서, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐:<math>f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta</math>
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* <math>a_n=\infty</math> 인 경우, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐:<math>f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta</math>
  
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==미분방정식==
  
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* Schwarz-Christoffel mappings 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.
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* 슈바르츠-크리스토펠 사상이 만족해야 하는 미분방정식:<math>\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}</math>
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* <math>{f''(z)}/{f'(z)}</math> 는 연산자로서 <math>f\mapsto \alpha f+\beta</math> 에 의해 불변이다
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* [[슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)]] 과의 유사성
  
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<math>f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz</math>
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<h5>국소적인 이해</h5>
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==국소적인 이해==
  
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* 우선 <math>z^{\lambda}</math> 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
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* 우선 <math>z^{\alpha}</math> 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
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* <math>\lambda > 0</math> 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자<br><math>z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)</math><br>
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* <math>\alpha > 0</math> 인 경우에 대해서 생각해보자
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* 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 <math>\arg z</math>이 브랜치를 하나 고정하자
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:<math>z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)</math>
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* <math>z</math> 가 실수라고 하자.<br>
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* 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 <math>\arg z</math>의 브랜치를 하나 고정하자
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** <math>z>0</math>  이면 <math>\arg z =0</math>
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* <math>z</math> 가 실수라고 하자.
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** <math>z<0</math>  이면 <math>\arg z =\pi</math>
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** <math>z>0</math> 이면 <math>\arg z =0</math>
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* 상반평면이 <math>z^{\lambda}</math> 에 의해 각도가 <math>\lambda \pi</math>인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
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** <math>z<0</math> 이면 <math>\arg z =\pi</math>
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* <math>\lambda < 0</math> 인 경우
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* 상반평면이 <math>z^{\alpha}</math> 에 의해 각도가 <math>\alpha \pi</math>인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, <math>z<0</math> 의 이미지에서 <math>z>0</math> 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로  <math>(1-\alpha) \pi</math> 만큼 회전하게 된다
  
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<h5>등각사상으로서의 타원적분</h5>
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==상반평면을 삼각형으로 보내는 예==
  
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* [[타원적분(통합됨)|타원적분]]<br><math>f(z)=\int_0^z\frac{dz}{\sqrt{(z+1)z(z-1)}}</math><br>
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* 다음 슈바르츠-크리스토펠 사상은 상반평면을, 세 내각이 <math>\pi/4,\pi/4,\pi/2</math> 인 직각이등변 삼각형으로 보낸다:<math>f(z)=\int_0^z \left(\zeta-1\right)^{-3/4}\left(\zeta+1\right)^{-3/4}\, d\zeta</math>
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*  이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 알기 위해 국소적으로 보자면,<br><math>z=-1</math> 근방에서 <math>f(z) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}</math><br><math>z=0</math> 근방에서 <math>f(z) \approx 2z^{\frac{1}{2}}</math><br><math>z=1</math> 근방에서 <math>f(z) \approx 2(z-1)^{\frac{1}{2}}</math> <br>
 
  
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==등각사상으로서의 타원적분==
  
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<h5>관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들</h5>
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*  다음과 같은 형태로 주어지는 [[타원적분]] 을 생각하자:<math>f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}</math>
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*  이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
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** <math>z=-1</math> 근방에서 <math>f(z)-f(-1) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}</math>
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** <math>z=0</math> 근방에서 <math>f(z)-f(0) \approx z^{\frac{1}{2}}</math>
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** <math>z=1</math> 근방에서 <math>f(z)-f(1) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}</math>
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** <math>z=\infty</math> 근방, 즉 <math>w=1/z \approx 0</math> 일 때 <math>f(1/w)-f(\infty) \approx w^{\frac{1}{2}}</math>
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* 슈바르츠-크리스토펠 사상의 관점에서 보면, 타원적분은 복소상반평면을 직각사각형으로 보낸다
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* 따라서 역함수의 해석적 확장을 생각하면 이중주기의 [[타원함수]] 가 얻어지게 된다
  
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<h5>관련된 대학원 과목</h5>
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==단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상==
  
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* 복소해석학의 [[리만 사상 정리 Riemann mapping theorem and the uniformization theorem|리만 사상 정리 Riemann mapping theorem]] 에 의하면, 아래 그림과 같은 단위원과 별모양(pentagram) 사이에는 전단사 복소해석함수가 존재.
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
  
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* 단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.
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:<math>f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta</math>
  
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<h5>표준적인 도서 및 추천도서</h5>
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==메모==
  
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<h5>위키링크</h5>
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* http://siam.org/pdf/news/1297.pdf
  
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<h5>참고할만한 자료</h5>
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==관련된 항목들==
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* [[초기하 미분방정식(Hypergeometric differential equations)]]
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* [[헤르만 슈바르츠 (1843-1921)]]
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* [[슈바르츠 미분(Schwarzian derivative)]]
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
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==사전 형태의 자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarz–Christoffel_mapping
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==관련도서==
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* [http://www.amazon.com/Conformal-Mapping-Zeev-Nehari/dp/048661137X Conformal Mapping]
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** Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1
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** [[1950524/attachments/2057891|Schwarz_functions_and_hypergeometric_differential_equation.pdf]]
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==관련논문==
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* Hakula, Harri, Tri Quach, and Antti Rasila. “Conjugate Function Method and Conformal Mappings in Multiply Connected Domains.” arXiv:1502.02047 [math], February 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1502.02047.
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[[분류:리만곡면론]]
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[[분류:복소함수론]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q227480 Q227480]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LEMMA': 'Schwarz'}]

2021년 2월 17일 (수) 05:50 기준 최신판

개요

  • 복소상반평면을 다각형의 내부로 보내는 등각사상
  • 다음 조건을 가정
    • 실수축 위에 있는 \(\{a_k \in\mathbb{R}| k=1,\cdots, n\}\)가 n각형의 꼭지점으로 보내지고
    • n각형의 내각이 \(\{\alpha_k \pi| k=1,\cdots, n\}\)이고 외각이 \(\{\lambda_k \pi| k=1,\cdots, n\}\) 인 경우 (즉 \(\alpha_k+\mu_k=1\), \(\sum_{k=1}^n \mu_k=2\))
  • 위의 같은 조건하에서, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^n \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]
  • \(a_n=\infty\) 인 경우, 슈바르츠-크리스토펠 사상은 다음의 형태로 주어짐\[f(z)=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \left(\zeta -a_k\right){}^{\alpha_k-1}d\zeta=\alpha +\beta \underset{0}{\overset{z}{\int }}\prod _{k=1}^{n-1} \frac{1}{\left(\zeta -a_k\right){}^{\mu_k}}d\zeta\]


미분방정식

  • 슈바르츠-크리스토펠 사상이 만족해야 하는 미분방정식\[\frac{f''(z)}{f'(z)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{-\mu_k}{z-a_k}\]
  • \({f''(z)}/{f'(z)}\) 는 연산자로서 \(f\mapsto \alpha f+\beta\) 에 의해 불변이다
  • 슈바르츠 미분(Schwarzian derivative) 과의 유사성



국소적인 이해

  • 우선 \(z^{\alpha}\) 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
  • \(\alpha > 0\) 인 경우에 대해서 생각해보자

\[z^{\alpha}=e^{\alpha \ln z}= e^{\alpha (\ln |z|+i\arg z)} =\exp(\ln |z|^{\alpha}+\alpha i \arg z)\]

  • 이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 \(\arg z\)의 브랜치를 하나 고정하자
  • \(z\) 가 실수라고 하자.
    • \(z>0\) 이면 \(\arg z =0\)
    • \(z<0\) 이면 \(\arg z =\pi\)
  • 상반평면이 \(z^{\alpha}\) 에 의해 각도가 \(\alpha \pi\)인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화하며, \(z<0\) 의 이미지에서 \(z>0\) 의 이미지로 갈 때, 시계방향으로 \((1-\alpha) \pi\) 만큼 회전하게 된다



상반평면을 삼각형으로 보내는 예

  • 다음 슈바르츠-크리스토펠 사상은 상반평면을, 세 내각이 \(\pi/4,\pi/4,\pi/2\) 인 직각이등변 삼각형으로 보낸다\[f(z)=\int_0^z \left(\zeta-1\right)^{-3/4}\left(\zeta+1\right)^{-3/4}\, d\zeta\]




등각사상으로서의 타원적분

  • 다음과 같은 형태로 주어지는 타원적분 을 생각하자\[f(z)=\int_0^z\frac{d\zeta}{\sqrt{(\zeta+1)\zeta(\zeta-1)}}\]
  • 이러한 타원적분으로 주어진 함수가 등각사상으로서 어떤 성질을 갖는지 알기 위해 국소적으로 보자면,
    • \(z=-1\) 근방에서 \(f(z)-f(-1) \approx (z+1)^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=0\) 근방에서 \(f(z)-f(0) \approx z^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=1\) 근방에서 \(f(z)-f(1) \approx (z-1)^{\frac{1}{2}}\)
    • \(z=\infty\) 근방, 즉 \(w=1/z \approx 0\) 일 때 \(f(1/w)-f(\infty) \approx w^{\frac{1}{2}}\)
  • 슈바르츠-크리스토펠 사상의 관점에서 보면, 타원적분은 복소상반평면을 직각사각형으로 보낸다
  • 따라서 역함수의 해석적 확장을 생각하면 이중주기의 타원함수 가 얻어지게 된다



단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상


  • 단위원에 대한 슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings)은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

\[f(z)=\int_0^z\frac{(1-\zeta^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+\zeta^5)^{\frac{4}{5}}}\,d\zeta\]




메모


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스



사전 형태의 자료


관련도서


관련논문

  • Hakula, Harri, Tri Quach, and Antti Rasila. “Conjugate Function Method and Conformal Mappings in Multiply Connected Domains.” arXiv:1502.02047 [math], February 6, 2015. http://arxiv.org/abs/1502.02047.

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LEMMA': 'Schwarz'}]
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