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2021년 2월 17일 (수) 05:50 기준 최신판

개요

\(s(n,k)\) 제1종 스털링 수

\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]

\(S(n,k)\) 제2종 스털링 수

\[x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\]

제1종 스털링 수

정의

\[(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\]

예

\[(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\] \[s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1\]

점화식

\[ s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k) \]

제2종 스털링 수

n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 \(S(n,k)\)
제2종 스털링 수

\[x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j\]

예

\[x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)\] \[S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1\]

점화식

\[ S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k) \]

생성함수

\[\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\]

지수생성함수

\[\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\]

벨 수열 (Bell number)과의 관계

http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
\(B(n)=\sum_{k}S(n,k)\)
집합 \(\{1,2,\cdots,n\}\) 의 분할의 개수

\[\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.\]

메모

Zhao, Wei, Jianrong Zhao, and Shaofang Hong. “The 2-Adic Valuations of Differences of Stirling Numbers of the Second Kind.” arXiv:1407.8443 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8443.

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRVJuQTh1QnZKMnc/edit

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ID : Q816063

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'bell'}, {'LEMMA': 'number'}]

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-==이 항목의 스프링노트 원문주소==
-* [[스털링 수]]
 ==개요==
+* <math>s(n,k)</math> 제1종 스털링 수
+:<math>(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}</math>
+* <math>S(n,k)</math> 제2종 스털링 수
+:<math>x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j</math>
-<math>s(n,k)</math> 제1종 스털링 수
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-<math>S(n,k)</math> 제2종 스털링 수
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 ==제1종 스털링 수==
-*  정의<br><math>(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}</math><br>
+* 정의
+:<math>(x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}</math>
-<math>(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3</math>
+* 예
+:<math>(x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3</math>
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+* 점화식
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+s(n,k)=s(n-1,k-1)-(n-1)s(n-1,k)
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 ==제2종 스털링 수==
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 * n개 원소를 갖는 집합을 k개의 블록으로 분할하는 방법의 수 <math>S(n,k)</math>
 * 제2종 스털링 수
+:<math>x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j</math>
+* 예
+:<math>x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)</math>
-<math>x^{n}=\sum_{j}S(n,j)(x)_j</math>
+:<math>S(3,0)=0, S(3,1)=1,S(3,2)=3,s(3,3)=1</math>
+* 점화식
-예)
+:<math>
+S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)
-<math>x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+3x(x-1)+x(x-1)(x-2)</math>
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+* 생성함수
-생성함수
+:<math>\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}</math>
+* 지수생성함수
-<math>\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}</math>
+:<math>\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}</math>
-지수생성함수
-<math>\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}</math>
 ==벨 수열 (Bell number)과의 관계==
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
+* <math>B(n)=\sum_{k}S(n,k)</math>
+* 집합 <math>\{1,2,\cdots,n\}</math> 의 분할의 개수
+:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>
-http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_number
-<math>B(n)=\sum_{k}S(n,k)</math>
-\{1,2,\cdots,n\} 의 분할의 개수
-<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.</math>
-==재미있는 사실==
-* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
-* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
-==역사==
-* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
-* [http://jeff560.tripod.com/mathword.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics]
-* [http://jeff560.tripod.com/mathsym.html Earliest Uses of Various Mathematical Symbols]
-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
 ==메모==
+* Zhao, Wei, Jianrong Zhao, and Shaofang Hong. “The 2-Adic Valuations of Differences of Stirling Numbers of the Second Kind.” arXiv:1407.8443 [math], July 31, 2014. http://arxiv.org/abs/1407.8443.
-* http://www.soojishin.com/635
 ==관련된 항목들==
+* [[차분방정식(difference equation) 과 유한미적분학 (finite calculus)]]
+==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
+* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxRVJuQTh1QnZKMnc/edit
-==수학용어번역==
-* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
-* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
-* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
-** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
-* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
-* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Stirling_number
-* http://en.wikipedia.org/wiki/
-* http://www.proofwiki.org/wiki/
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
-* [http://eom.springer.de/default.htm The Online Encyclopaedia of Mathematics]
-* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+[[분류:조합수학]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q816063 Q816063]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'bell'}, {'LEMMA': 'number'}]
-==링크==
-* [http://navercast.naver.com/science/list 네이버 ]
-[[분류:조합수학]]