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<h5>간단한 소개</h5>
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==개요==
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* 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식
 
* 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식
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:<math>\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots</math>
  
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* 오차항
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:<math>\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R</math>
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+B_1(f(n)-f(0))+\sum_{k=2}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
 
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<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>
 
  
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<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
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여기서
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:<math>\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx</math>
  
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<math>\frac{B_k}{k!}</math> 는 {1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600}
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<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math> 는 [[베르누이 수]]
  
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<math>\frac{B_k}{k!}</math> 는 <math>\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}</math>
  
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<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\frac{1}{30240}(f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0))-\frac{1}{1209600}(f^{(7)}(n)-f^{(7)}(0))</math>
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<h5>응용</h5>
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==응용1.==
  
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* [[스털링 공식]]
 
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
  
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<h5>바젤 문제</h5>
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==응용2.==
  
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<math>\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>
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<math>\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x^2}</math>, <math>f'(x)=-\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}</math>, <math>f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}</math>
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<math>\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) </math>
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==유용한 표현==
  
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<math>\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1) \cdots = 1+1/2+1/6+1/30+1/42+\cdots</math>
+
<math>\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R</math>
  
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<math>B_0=1</math>, <math>B_1=-{1 \over 2}</math>, <math>B_2={1\over 6}</math>, <math>B_3=0</math>, <math>B_4=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_5=0</math>, <math>B_6=\frac{1}{42}</math>, <math>B_8=-\frac{1}{30}</math>, <math>B_{10}=\frac{5}{66}</math>, <math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>,<math>B_{14}=\frac{7}{6}</math>
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단, <math>f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx</math> 라고 쓰자.
  
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<h5>재미있는 사실</h5>
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==응용==
  
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* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
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* [[스털링 공식]]
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* [[오일러상수, 감마]]
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
  
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<h5>관련된 단원</h5>
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==재미있는 사실==
  
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<h5>많이 나오는 질문</h5>
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* 오일러의 계산에 중요하게 활용되었다
  
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* 네이버 지식인<br>
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** http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
 
  
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<h5>관련된 고교수학 또는 대학수학</h5>
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==관련된 고교수학 또는 대학수학==
  
 
* [[일변수미적분학]]
 
* [[일변수미적분학]]
  
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
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==관련된 항목들==
  
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* [[베르누이 수|베르누이 수와 베르누이 다항식]]
 
* [[스털링 공식]]
 
* [[스털링 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
 
* [[거듭제곱의 합을 구하는 공식]]
  
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
 
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* 도서내검색<br>
 
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** http://books.google.com/books?q=
 
−
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
−
*  도서검색<br>
 
−
** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
 
−
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
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<h5>참고할만한 자료</h5>
 
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*  Euler-Maclaurin summation formula ([[2637804/attachments/1168462|pdf]])<br>
 
−
** E. Hairer (Author), G. Wanner
 
−
** From [http://www.amazon.com/Analysis-History-Undergraduate-Mathematics-Readings/dp/0387945512 Analysis by Its History], 160-169p
 
−
* [http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/euler2k2.pdf Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula]<br>
 
−
** David J. Pengelley
 
−
** in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) , Euler Society, 2003.
 
−
* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2589145 An Elementary View of Euler's Summation Formula]<br>
 
−
** Tom M. Apostol
 
−
** <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=amermathmont The American Mathematical Monthly]</cite>, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp. 409-418
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2690625 The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations]<br>
 
−
** Vito Lampret
 
−
** <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
 
−
* [http://www.jstor.org/stable/2301097 An Euler Summation Formula]<br>
 
−
** Irwin Roman
 
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** <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21
 
−
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러]
 
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* [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_summation_formula http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_summation_formula]
 
−
* http://viswiki.com/en/
 
−
* http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 
−
* http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
 
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* 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=
 
−
* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]
 
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<h5>관련기사</h5>
 
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*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
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<h5>블로그</h5>
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxN2U5NmI1Y2YtNjYyMi00OWEwLWI3MGQtNTRmYjdiYWM4ZTM3&sort=name&layout=list&num=50
  
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 
  
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==사전자료==
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_summation_formula
  
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<h5>이미지 검색</h5>
 
  
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* http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
 
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* http://images.google.com/images?q=
 
−
* [http://www.artchive.com/ http://www.artchive.com]
 
  
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==관련논문==
  
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<h5>동영상</h5>
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* Euler-Maclaurin summation formula ([[2637804/attachments/1168462|pdf]]) , E. Hairer (Author), G. Wanner, From [http://www.amazon.com/Analysis-History-Undergraduate-Mathematics-Readings/dp/0387945512 Analysis by Its History], 160-169p
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* [http://www.math.nmsu.edu/%7Edavidp/euler2k2.pdf Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula] ,David J. Pengelley, in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) , Euler Society, 2003.
 +
* [http://dx.doi.org/10.2307%2F2589145 An Elementary View of Euler's Summation Formula], Tom M. Apostol, <cite>[http://www.jstor.org/action/showPublication?journalCode=amermathmont The American Mathematical Monthly]</cite>, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp. 409-418
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* [http://www.jstor.org/stable/2690625 The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations] , Vito Lampret, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
 +
* [http://www.jstor.org/stable/2301097 An Euler Summation Formula] , Irwin Roman, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21
  
−
* http://www.youtube.com/results?search_type=&search_query=
+
==메타데이터==
 +
===위키데이터===
 +
* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q282023 Q282023]
 +
===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'maclaurin'}, {'LEMMA': 'formula'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:54 기준 최신판

개요

  • 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식

\[\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots\]

  • 오차항

\[\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R\]

여기서 \[\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\]

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\) 는 베르누이 수

\(\frac{B_k}{k!}\) 는 \(\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}\)



응용1.



응용2.

유용한 표현

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

단, \(f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx\) 라고 쓰자.



응용



재미있는 사실

  • 오일러의 계산에 중요하게 활용되었다



관련된 고교수학 또는 대학수학


관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스


사전자료


관련논문

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'maclaurin'}, {'LEMMA': 'formula'}]
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=오일러-맥클로린_공식&oldid=52409"