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* 다음과 같은 극한으로 정의된다
 
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* 적분표현:<math>\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt</math><br> (증명)<br> 아래의 <math>\Gamma'(1)=-\gamma</math> 참조. ■<br>
 
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==오일러 상수가 등장하는 곳==
 
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* [[크로네커 극한 공식]]
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* [[감마함수]]와 [[다이감마 함수(digamma function)]]:<math>\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}</math>:<math>\psi(1) = -\gamma\,\!</math>:<math>\Gamma'(1)=-\gamma</math><br>
 
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* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식]]:<math>E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)</math><br>
 
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<math>\int f(x)\,dx=\ln x</math>, <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>f'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>, <math>f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}</math>, <math>f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}</math>, <math>f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}</math>
  
 
<math>\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)</math>
 
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<math>0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots</math>
 
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참고로 <math>\gamma=0.5772156649015\cdots</math>
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참고로 <math>\gamma=0.5772156649015\cdots</math>
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[감마함수]]
 
* [[감마함수]]
 
* [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]]
 
* [[다이감마 함수(digamma function)|Digamma 함수]]
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* [[Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식]]
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* [[크로네커 극한 공식]]
  
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==사전 참고자료==
  
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수]
 
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수]
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
  
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
  
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50
 
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
+
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=euler+gamma
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* http://functions.wolfram.com/
+
* The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
−
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
+
** https://oeis.org/A001620
−
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
+
* Numbers, constants and computation
−
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
+
** http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.html
 +
[[분류:상수]]
  
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* [[매스매티카 파일 목록]]
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==메타데이터==
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===위키데이터===
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* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q273023 Q273023]
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===Spacy 패턴 목록===
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* [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'mascheroni'}, {'LEMMA': 'constant'}]
 +
* [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': '’s'}, {'LEMMA': 'constant'}]
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* [{'LEMMA': '0.577'}]
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* [{'LEMMA': '0.5772156649'}]

2021년 2월 17일 (수) 04:54 기준 최신판

개요

\[\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\]

  • \(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
  • 적분표현

\[\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt\] (증명) 아래의 \(\Gamma'(1)=-\gamma\) 참조. ■



오일러 상수가 등장하는 곳

\[\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\]

\[\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]\[\psi(1) = -\gamma\,\!\]\[\Gamma'(1)=-\gamma\]

\[E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\]


오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기

오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)


\(f(x)=\frac{1}{x}\) 에 대하여 적용해보자.

\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\)

\(0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots\)

참고로 \(\gamma=0.5772156649015\cdots\)




메모

\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 은 발산하지만 이것과  \(\ln n\) 과의 차는 수렴.


관련된 항목들




사전 참고자료


매스매티카 파일 및 계산 리소스

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'euler'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'mascheroni'}, {'LEMMA': 'constant'}]
  • [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': '’s'}, {'LEMMA': 'constant'}]
  • [{'LEMMA': '0.577'}]
  • [{'LEMMA': '0.5772156649'}]
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